Mavzu: Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari. Argumentlar prinsipi

Mavzu:Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari.
Argumentlar prinsipi.
Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari avtomatik sistemalarning chastotaviy xarakteristikalari ko‘rinishiga qarab ularning turg‘unlik xolatlarini tekshirish imkonini beradi.
Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari grafoanalitik mezon bo‘lib, sistemalarning turg‘unligini tekshirishda juda keng qo‘llaniladi. Chunki bu mezonlar yordamida yuqori darajali avtomatik sistemalarning turg‘unlik ќolatini tekshirish ancha oson ќamda ular sodda geometrik tasvirga egadirlar.
Argumentlar prinsipi
Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari asosida kompleks o‘zgaruvchi funksiya nazariyasidan ma’lum bo‘lgan argumentlar prinsipi yotadi.
Quyida argumentlar prinsipining qiskacha bayonini keltiramiz
. (1)
«n» - darajali polinom berilgan bo‘lsin. Bu polinomni Bezu teoremasiga asosan quyidagicha ifodalash mumkin
, (2)
bu yerda р₁, р₂, …, р_n – D(p)=0 xarakteristik tenglamaning ildizlari.
«р» kompleks tekisligida har qaysi ildizni koordinata o‘qi boshidan «р_i» nuqtagacha o’tkazilgan vektor orqali ifodalash mumkin (1-rasm).

1-rasm.
Bu vektorning uzunligi kompleks sonning p_i=_i+jω_i ning moduli |p_i|ga shu vektorning musbat ќaqiqiy o‘q bilan xosil qilgan burchagi esa p_i kompleks sonining argumentiga yoki fazasi (arg p_i) ga teng bo‘ladi. (p-p_i) miqdorning geometrik o‘rni p_i nuqtadan ixtiyoriy «р» nuqtasiga o‘tkazilgan vektor orqali ifodalanadi. Xususiy holda р=jw bo‘lganda (2) ifodani
(3)
ko‘rinishida ifodalash mumkin. (3) ifodaning geometrik tasviri 2-rasmda keltirilgan.

2-rasm.

D(jω) vektorning moduli (jω-p_i) elementar vektorning va а₀ koeffitsiyentining ko‘paytmasiga
(4)
argumenti esa elementar vektorlar argumentining yig‘indisiga teng bo‘ladi
. (5)
Частота -∞<ω<∞ o‘zgarganda D(jω) vektor argumentining o‘zgarishi
(6)
ga teng bo‘ladi.
(6) ifodaga ko‘ra D(jω) vektor argumentining uzgarishini hisoblash uchun (jω-p_i) vektorlar argumenti o‘zgarishining yig‘indisini hisoblash zarur. Argumentning bu o‘zgarishi esa p_i ildizning kompleks tekisligining qaysi tomonida joylashganligiga bog‘liq.
1. p_{i ­} ildiz kompleks tekisligining chap tomonida joylashgan bo‘lsin (3a-rasm).
-∞<ω<∞ o‘zgargandа (jω-p_i) vektorning uchi mavќum o‘q bo‘yicha pastdan yuqoriga soat strelkasiga teskari (qarshi) yo‘nalishda 180⁰ burchakka buriladi, ya’ni
. (7)

3-rasm.
2. p_{i ­} ildiz kompleks tekisligining o‘ng tomonida joylashgan bo‘lsin (1b-rasm).

Bu holda yuqoridagi kabi fikr yuritganimizda (jω-p_i) vektori chastota -∞<ω<∞ œzgarganda soat strilkasi yœnalishi bœyicha (manfiy) - burchakka buriladi, ya’ni
. (8)
D(p)=0 tenglamaning «l» ildizlari kompleks tekisligining o`ng tomonida, (n-l) та ildizlari chap tomonida joylashgan deb faraz qilaylik. Unda (7) va (8) ifodalarga asoslanib, D(jω) vektor argumentining o’zgarishi
(9)
ga teng bœlishini ko’ramiz.
(9) tenglik argumentlar prinsipining ifodasini bildiradi va uni qœyidagicha ta’riflash mumkin.
Chastota -∞<ω<∞ o‘zgarganda D(jw) vektori argumentining o’zgarishi chap va o’ng ildizlar ayirmasining «» soniga kœpaytirilganiga teng bo’ladi.
Agarda 0<ω</2 o’zgarsa, unda
(10)
bo’ladi.