Funksiyaning differensiallanuvchanligi funksiya nuqtaning biror atrofda aniqlangan bo‘lsin.
2-ta’rif. Agar funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasini
(1)
ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, bu yerda ga bog‘liq bo‘lmagan sonlar,
da
1-teorema. Agar funksiya nuqtada diffrensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
2-teorema (funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti). Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada va xususiy hosilalarga ega bo‘ladi.
Shunday qilib, funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo‘lishi yetarli bo‘lmaydi. Bunda qo‘shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Boshqacha aytganda quyida isbotsiz keltiriladigan teorema o‘rinli bo‘ladi.
3-teorema (funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining yetarli sharti). Agar funksiya nuqtaning biror atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi.
