2-teorema. Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni
.
1-natija. Funksiya da yagona limitga ega bo‘ladi.
2-natija. O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni
.
3-natija. O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish mumkin, ya’ni
4-natija. Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni
,
3-teorema. Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni
, .
4-teorema. Agar nuqtaning biror atrofidagi barcha nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa va bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Misollar . 1. limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab, topamiz:
va .
U holda
2. limitni topish uchun nuqtaga to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda
Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari takroriy limitlar deb ataluvchi va limitlar ham kiritiladi. Umuman olganda karrali limit har ikki argument bir vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas. Quyida funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan almashtirish imkonini beruvch teoremani keltiramiz.
Funksiyaning xususiy hosilalari funksiya to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, , , va nuqtalar to‘plamga tegishli bolsin, bu yerda argumentlarning orttirmalari.
va
ayirmalarga funksiyaning nuqtadagi va o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi.
ayirmaga
funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyiladi.
Misol.funksiyaning nuqtadagi xususiy va to‘liq orttirmalarini va lar uchun topamiz:
1-ta’rif. Agar nisbatining dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va ko‘rinishlarda belgilanadi.
Demak,
.
funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi shu kabi ta’riflanadi:
.
( ) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
Misollar. 1. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:
2. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:
funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz.
