Mexanikaning fizikaviy asoslari

3.Qattiq jism aylanma harakatini dinamikasida kuch momenti
Qattiq jism aylanma harakatini dinamika nuqtai nazaridan tekshirilganda kuch tushunchasi bilan bir qatorda kuch momenti tushunchasi massa tushunchasi bilan bir qatorda inersiya momenti tushunchasi kiritiladi.
Kuch ta’sirida jismlar faqat aylanma harakat qilayotgan bo‘lsin. Masalan, auditoriya eshigi, radiola plastinkasi, rul chambaraklari, charx toshi va shu kabilar kuch ta’sirida aylanma harakat qilishlarini biz kuzatishlardan bilamiz. Kuchning aylantiruvchi ta’siri qanday kattalik bilan ifodalanishini aniqlaymiz.
Tajribalardan ma’lumki, uy eshigini uning aylanish o‘qiga (oshiq-moshiqqa) yaqin joyidan itarib ochish uchun ancha kuch kerak. Aksincha, aylanish o‘qidan ancha nari joydan itarsak, eshik osongina ochiladi. Radiola plastinkasini qo‘l bilan aylantirib ko‘raylik. Bunda ham qo‘l barmog‘imizni plastinkaning aylanish o‘qiga yaqinroq joyiga bosib plastinkani aylantirish uchun ancha kuch qo‘yish kerakligini ko‘ramiz. Agar aylanish o‘qidan uzoqroqdan bosib aylantirsak, u oson aylanadi.
Shunga o‘xshash tajribalardan aylanish o‘qi bo‘lgan jismga kuchning ta’siri faqat kuchning kattaligiga emas, shuningdek, kuchning qo‘yilish nuqtasidan aylanish o‘qigacha bo‘lgan masofaga ham bog‘liq bo‘lishi ko‘rinib turibdi.
Aylanish o‘qidan kuchning ta’sir chizig‘igacha bo‘lgan eng qisqa masofa kuch yelkasi deb ataladi.
Kuchning uning yelkasiga ko‘paytmasi bilan o‘lchanadigan kattalik aylantiruvchi momenti yoki kuch momenti deb ataladi, ya’ni
. (17)
SI birliklar sistemasida kuch momenti nyuton-metr (N×m) deb atalgan birlikda o‘lchanadi, ya’ni
. (18)
Amalda ko‘pincha jismga juft kuchlar deb ataladigan kuchlarning ta’siriga duch kelamiz. Masalan, shofyor qo‘llari yordamida juft kuchlar hosil qilib, rul chambaragini buradi, Yerning magnit maydoni magnit strelkasiga juft kuchlar bilan ta’sir etib, uning bir uchini shimolga, ikkinchi uchini janubga tomon buradi.
Juft kuchlar deb bir to‘g‘ri chiziqda ta’sir qilmayotgan ikkita bir-biriga teng va parallel, qarama-qarshi yo‘nalgan kuchlarga aytiladi.
6-rasmda va juft kuchlar tasvirlangan.

6-rasm. 7-rasm.

Juft kuchlarni bir kuch bilan almashtirib bo‘lmaydi, ya’ni ularning teng ta’sir etuvchisi bo‘lmaydi. Shuning uchun juft kuchlar jismga ilgarilanma harakat bera olmaydi, juft kuchlar jismni aylantiradi. 7-rasmda aylanish o‘qidan chiqarib olingan g‘ildirak juft kuchlar ta’sirida aylanma harakat qilishi ko‘rsatilgan.

Juft kuchlarning jismni aylantiruvchi ta’siri ham kuch momenti bilan harakterlanadi. Kuchlardan birining kuch yelkasiga ko‘paytmasi juft kuchlarning momenti deb ataladi. Juft kuchlar momentining kattaligi aylanish o‘qining vaziyatiga bog‘liq emas.
Ixtiyoriy shakldagi qattiq jism qo‘zg‘almas o‘q atrofida kuch ta’sirida aylanayotgan bo‘lsin (8-rasm). Bunda jismning barcha nuqtalari markazi shu o‘qda yotgan aylanalar chizadi. Jism barcha nuqtalarining burchak tezliklari va burchak tezlanishlari bir xil bo‘ladi.



8-rasm.

Ta’sir qilayotgan kuchni uchta o‘zaro perpendikulyar ta’sir etuvchilarga ajratamiz: o‘qqa parallel , o‘qqa perpendikulyar , hamda va larga perpendikulyar kuchga. Jismni kuch qo‘yilgan nuqta chizgan aylanaga urinma bo‘lgan tashkil etuvchisi aylantiradi. va tashkil etuvchilar jismni aylantirmaydi. kuch aylantiruvchi kuch deyiladi. kuchning ta’siri faqat uning kattaligiga bog‘liq bo‘lmay, kuch momentiga ham bog‘liq, ya’ni

. (19)
(19) ifoda kuch momentining formulasi deyiladi. Bu yerda - aylantiruvchi kuch, - aylanish o‘qidan kuch qo‘yilgan nuqtagacha masofa.
Butun jismni juda kichik zarralar – elementar massalarga fikran bo‘lamiz. Har bir elementar massaga elementar aylantiruvchi kuch qo‘yilgan bo‘ladi (8-rasm). Nyutonning ikkinchi qonuni asosida
, (20)
bu yerda - elementar massaga berilayotgan chiziqli tezlanish. Bu tenglikning ikkala qismini elementar massa chizayotgan aylananing radiusi ga ko‘paytirib va chiziqli tezlanish o‘rniga burchak tezlanishini kiritsak, quyidagini hosil qilamiz:
. (21)
kattalik elementar massaga qo‘yilgan aylantiruvchi moment ekanini nazarga olib
(22)
deb belgilash kiritsak, (21) ni quyidagicha yozishimiz mumkin:
. (23)
kattalik moddiy nuqtaning inersiya momenti deyiladi. Moddiy nuqtaning biror aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti deb moddiy nuqta massasining shu o‘qqacha bo‘lgan masofa kvadrati ko‘paytmasiga aytiladi.
Jismni tashkil qilgan barcha moddiy nuqtalarga qo‘yilgan aylantiruvchi momentlarni jamlab quyidagicha yozish mumkin:
, (24)
bu yerda jismga qo‘yilgan aylantiruvchi moment, ya’ni aylantiruvchi kuchning momenti, jismning inersiya momenti.
(24) formulani quyidagicha yozish mumkin:
. (25)
(24) formula aylanish dinamikasining asosiy qonuni, ya’ni aylanma harakat uchun Nyutonning ikkinchi qonunini ifodalaydi: jismga qo‘yilgan aylantiruvchi kuchning momenti jismning inersiya momentining burchak tezlanishga ko‘paytmasiga teng.
Inersiya momenti jismning aylanma harakatdagi inertlik xossalarini ifodalar ekan.
Agar aylantiruvchi moment va jismning inersiya momenti bo‘lsa, u holda (25) formulani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
, (26)
yoki
, (27)
bu yerda - jismning aylanish burchak tezligi dan gacha o‘zgarish
uchun ketgan vaqt oralig‘i;
- kuch momentining impulsi;
- harakat miqdorining momenti.
(27) formula harakat miqdori momentining o‘zgarish qonunini ifodalaydi: biror vaqt oralig‘ida jismning harakat miqdori momentining o‘zgarishi xuddi shu vaqt oralig‘idagi kuch momenti impulsiga teng.
bo‘lgan holda ham harakat miqdori momentining o‘zgarish qonuni (27) formula to‘g‘riligicha qoladi.
Aylantiruvchi moment moment impulsi va harakat miqdorining momenti vektor kattaliklardir.
Ba’zi jismlarning ma’lum o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari bilan tanishamiz.
1. uzunlikdagi ingichka sterjenning inersiya momenti (9-rasm. 1)
. (28)
2. Bo‘yi , eni bo‘lgan brusokning inersiya momenti (9-rasm. 2)
. (29)
3. Tashqi radiusi , ichki radiusi bo‘lgan xalqaning inersiya momenti (9-rasm. 3)
. (30)
4. radiusli disk (silindr) ning inersiya momenti (9-rasm. 4)
. (31)
5. radiusli sharning inersiya momenti (9-rasm. 5)



1) 2) 3) 4) 5)
9-rasm.

Aylanma harakat qilayotgan jismning kinetik energiyasi ifodasini chiqaraylik. Aylanayotgan jismning radiusli aylana bo‘ylab tezlik bilan aylanayotgan massali bir zarrasining kinetik energiyasi quyidagiga teng:

, (32)
bu yerda - zarraning inersiya momenti;
- jismning aylanish burchak tezligi.
Jismni tashkil qiluvchi barcha zarralarning energiyalarining yig‘indisidan aylanayotgan jismning kinetik energiyasini hosil qilamiz:
. (33)
Aylanish kinetik energiyasi hisobiga jism ish bajarishi mumkin. Bu ish aylanish kinetik energiyasining o‘zgarishiga (kamayishiga) teng bo‘ladi, ya’ni
, (34)
bu yerda va - boshlang‘ich va oxirgi burchak tezliklari.
Texnikada mashinalar (traktorlar, kemalar va shunga o‘xshashlar) ning bir tekis yurishini ta’minlash uchun maxovikning kinetik energiyasidan foydalaniladi: nagruzka (yuklanish) to‘satdan ortganida mashina to‘xtab qolmaydi, balki maxovikning aylanishi tufayli yig‘ilgan kinetik energiya hisobiga ish bajaradi.
Agar jism bir vaqtda ham ilgarilanma harakatda, ham aylanma harakatda bo‘lsa, uning to‘la kinetik energiyasi ilgarilanma harakatdagi kinetik energiyasi bilan aylanishdagi kinetik energiyasi yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni
, (35)
bu yerda va - qattiq jismning massasi va inersiya momenti;
va - uning chiziqli va burchak tezliklari.
Ko‘p amaliy masalalarni yechishda bu qoidani nazarga olish kerak.
Endi, ilgarilanma va aylanma harakatlarning kattaliklari va tenglamalarini o‘xshashligini ko‘rib chiqamiz.
Ilgarilanma harakatni harakterlovchi har bir fizik kattalikka aylanma harakatni harakterlovchi bir fizik kattalik mos keladi (jadval 1)
Jadval 1.

Ilgarilanma harakat	Aylanma harakat
1. Vaqt	1. Vaqt
2. Chiziqli yo‘l	2. Burchak yo‘l
3. Chiziqli tezlik	3. Burchak tezlik
4. Chiziqli tezlanish	4. Burchak tezlanish
5. Kuch	5. Kuch momenti
6. Massa	6. Inersiya momenti
7. Kuch impulsi	7. Kuch momentining impulsi
8. Harakat miqdori	8. Harakat miqdorining momenti
9.	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.
13.	13.
14.	14.