Mövzu Matrislər və determinantlar

Mövzu 1. Matrislər və determinantlar.

Plan
§1. Matris anlayışı.
§2. Matrislər üzərində əməllər və onların xassələri.
§3. Matrisin transponirə olunması.
§4. Determinant anlayışı.
§5. Determinantın əsas xassələri. Determinantın sətir və ya sütuna görə ayrılışı.
§6. Tərs matris və onun tapılması.

§1. Matris anlayışı.

Tutaq ki, m və n natural ədədlərdir,

m  n

sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində düzəldilmiş m

sayda sətri və n sayda sütunu olan cədvələ (m × n ) – ölçülü matris deyilir. Matrisi

a

a


_ 11
^ 21
...

22

a

a

12
...


a

a
1n _
2 n ^

^ . . . .


a a

. . . . ^


... a

(1)

 m1 m 2 mn 

şəklində yazırlar. Bəzən qısa olmaq üçün matrisi böyük hərflə (A, B, C, X, Y, …) və ya a_ij (

i  1, m ^{, j  1, n ) şəklində işarə edirlər.}
Matrisi təşkil edən a_ij ədədlərinə onun elementləri deyilir. Elementin aşağısında yazılan iki ( ij) indeksdən birincisi ( i) həmin elementin yerləşdiyi sətrin nömrəsini, ikincisi ( j) isə onun yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.
(m × n ) – ölçülü (1) matrisinin sətir və sütunlarının sayı bərabər olduqda (m = n ) ona kvadrat matris deyilir. Bu halda n ədədinə kvadrat matrisin tərtibi deyilir. Məsələn,

_ 3

A  

_ 7

5_

^ – ikitərtibli matris,

8_

_ 0

B  _ 2

0



1 - 3_




^{- 4 7} _ – üçtərtibli matris.

4
3 _

Eyni ölçülü və bütün uyğun elementləri bərabər olan matrislərə bərabər matrislər deyilir.

Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli matris deyilir. Ancaq bir sətri olan matrisə sətir-matris
^{A   2 7 8 9} ,

ancaq bir sütunu olan matrisə isə sütun-matris deyilir

 ¹

_{ 2}

n tərtibli
_{B }  





.
 ₀

 ⁴

_ a a ... a _

a
_ 11 12 1n _

22
_{A } ^{ a}21 ^{... a}2 n ^


(2)

^ . . . . . . . . ^


 ^an1
^an 2
...

^ann 

a

11
kvadrat matrisinin yuxarı sol küncündə yerləşən elementi ilə aşağı sağ küncündəki a_nn

elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən



, a

a
11 22
, ..., a_nn
elementləri çoxluğu

həmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Yalnız baş diaqonal elementləri sıfırdan fərqli olan kvadrat matrisə diaqonal matris deyilir. Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris vahid matris adlanır:

_1 0




I  _ 0 1

0
_ 0

0_

⁰_ .

1



Bütün elementləri sıfra bərabər olan kvadrat matrisə sıfır matris deyilir və O ilə işarə olunur. Məsələn,

_ 0


O  _ 0

0



0 0_




^{0 0}_ .

0
0 _

§2. Matrislər üzərində əməllər və onların xassələri.

1. 
   M a t r i s l ə r i n cə mi. Eyni (m × n) – ölçülü A=(a_ij) və
   

B = (b_ij) ( i  1, m ; j  1, n ) matrislərinin cəmi həmin ölçülü və hədləri

^cij
 a_ij  b_ij

( i  1, m ;

j  1, n ) (1)

kimi təyin olunan C ⁼ (c_ij) matrisinə deyilir və C ₌ A + B ilə işarə olunur.

Tərifdən aydındır ki, matrislərin toplanması yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələrinə malikdir, yəni eyniölçülü A, B və C matrisləri üçün
A + B = B + A ,


A ₊ ( B ₊ C ) ₌ ( A ₊ B ) ₊ C

münasibətləri doğrudur. Eyniölçülü A matrisi və O sıfır matrisi üçün həmişə A + O = A

münasibəti doğrudur.

2. 
   M a t r i s l ə r i n f ə r q i . Eyniölçülü A və B matrislərinin fərqi həmin ölçülü elə C matrisinə
   

deyilir ki, onu B ilə topladıqda A-ya bərabər olsun: A = C + B . A və B matrislərinin fərqini A– B = C (c_ij = a_ij – b_ij) ilə işarə edirlər. Aydındır ki, həmişə A – A = 0 .

3. 
   M a t r i s i n əd əd ə v u r u lmas ı. Verilmiş A ₌ (a_ij) ( _{i  1, m ;}
   

j  1, n)
matrisinin

həqiqi  ədədinə hasili hədləri
^bij
 a_ij

( i  1, m ;

j  1, n)
kimi təyin olunan B ⁼ (a_ij)

matrisinə deyilir və B ₌  A ilə işarə olunur. Aydındır ki, ixtiyari A, B matrisləri və  ,  ədədləri üçün
(  ) A ₌  (  A ) , ( A ₊ B ) ₌ A ₊ B ,
( ₊  ) A ₌ A ₊  A

xassələri doğrudur. Bundan başqa
( A  B)^  A^  B^,

(A)^  A^.

4. 
   İ k i matr i s i n h as i l i. (m × n ) ölçülü A ₌ (a_ij) ( _{i  1, m ;}
   

j  1, n)
matrisinin (n × k )

ölçülü B = (b_ij) ( i  1, n ; j  1, k ) matrisinə hasili hədləri

^cij ^{ a}i1 ^b1 j ^{ a}i 2 ^b2 j ^{ ...  a}in ^bnj ^{  a}ip ^bpj
p1

( i  1, m ;

j  1, k )

kimi təyin olunan (m × p ) ölçülü C ₌ (c_ij) ( i  1, m ;

və C ₌ A B ilə işarə olunur.

j  1, k ^{) matrisinə iki matrisin hasili deyilir}

Tərifdən aydındır ki, ixtiyari ölçülü iki matrisi vurmaq olmaz.
A matrisini o zaman B matrisinə vurmaq olar ki, A-nın sütunlarının sayı B-nin sətirlərinin sayına bərabər olsun.
Xüsusi halda

_ a a
  ^b
b _{ } a b

• a b

a b  a b _

a

a b  a b
_ 11
12 _{  } 11
12 ^  ^
11 11
12 21
11 12
12 22 _{ .}

 21
^a22 
 ^b21
^b22 
 21 11 22 21
^a21 ^b12 ^{ a}22 ^b22 

Qeyd edək ki, eynitərtibli A və B kvadrat matrislərinin hasili üçün yerdəyişmə xassəsi doğru deyil: AB ≠ BA. Lakin istənilən A kvadrat matrisi ilə eynitərtibli olan I vahid və O sıfır matrislərinin hasili üçün yerdəyişmə xassəsi həmişə doğrudur

IA ₌ AI ₌ A, OA ₌ AO ₌ O.
Matrislərin hasilinin bir sıra başqa xassələri də vardır. Məsələn, ixtiyari A, B, C matrisləri və həqiqi  ədədi üçün
(A)B  A(B)  ( AB) _,

( A ₊ B ) C ₌ AC ₊ BC , C ( A ₊ B ) ₌ CA ₊ CB , A ( BC ) = ( AB ) C ,
( AB)^  B^ A^

bərabərlikləri doğrudur.

§3. Matrisin transponirə olunması.

Verilmiş A matrisinin bütün uyğun sətir və sütunlarının yerinin dəyişdirilməsinə (nömrəsi

saxlanmaqla) həmin matrisin çevrilməsi və ya transponirə edilməsi deyilir və Məsələn,
_A^ ilə işarə olunur.

_ 1 - 2

_0 ^{ 1}
3_

 _{ 0}

_2

_ 0  4_


 

3 4 7

 _- 2
⁴_ ,

^ 4

    ^.

5 2 5

7



0
^{ }  ^{   }
 

Aydındır ki,

^{( A)  A} .
A  A^

olduqda A matrisinə simmetrik matris deyilir. (2)

matrisinin simmetrik olması şərtini
^aij
 a _ji

(i, j  1, n)

kimi yazmaq olar.
^aij
 a_ji
olduqda

A matrisinə çəpsimmetrik matris deyilir.

§4. Determinant anlayışı.

Əvvəlcə ikitərtibli


_ a a _

_{A  } 11 12 _
(1)

 ^a21 ^a22 

matrisinə baxaq. Bu matrisin elementlərindən düzəldilmiş

a

a
11 22

a

• 
  a
  

21 12
fərqinə (1) matrisinin

a

• 
  a
  

a

12
determinantı (və ya sadəcə olaraq ikitərtibli determinant) deyilir və

a

a

a

a

 a
det A  A  A  11 12
21 22
kimi işarə olunur.
Üçtərtibli
_ a a a _
11 22 21


(2)

_ 11 12 13 _



a
A  _ a₂₁
22 ^a23 ^
(3)

a

a

 31 32
^a33 

matrisinin elementlərindən düzəldilmiş

a

a

a

a

a

a

a

 a
11 12 13

a

a

a
21 22 23
31 32 33
11 22 33

a

a

• 
  a
  

12 23

a

• 
  a
  

a

a
31 21 32 13

a

a

• 
  a
  


31 22 13

a

a

• 
  a
  

21 12 33

a

a

• 
  a
  

32 23 11
(4)

ifadəsinə üçtərtibli determinant deyilir. (4) ifadəsinə determinantın açılışı deyilir.