Mövzu Matrislər və determinantlar

§5. Determinantın
sütuna görə ayrılışı.
əsas xassələri.
Determinantın sətir və ya

Min o r v ə cəb r i t am am l ay ı c ı. Matris kimi determinantlar da sətir və sütunlardan ibarətdir. n tərtibli determinantın hər hansı elementinin yerləşdiyi sətir və sütunu sildikdən sonra yerdə qalan elementlər n – 1 tərtibli bir determinant əmələ gətirir. Bu determinanta həmin elementin minoru deyilir. a_ij elementinin minorunu M_ij ilə işarə edirlər. M_ij minorunun (–1) ^i+j vuruğu ilə hasilinə a_ij elementinin cəbri tamamlayıcısı deyilir və

ij
kimi işarə olunur.
^Aij
 (1)^{i j} M

1. 
   Determinantın bütün uyğun sətir və sütunlarının yerini dəyişdikdə onun qiyməti dəyişməz.
   

	a	a	a 13		a	a	a 31
 	a	a	a 23		a	a	a 32	.
	a	a	a 33		a	a	a 33

11 12 11 21
21 22 12 22
31 32 13 23

2. 
   Determinantın iki qonşu sətrinin (və ya sütununun) bir-biri ilə yerini dəyişdikdə determinantın ancaq işarəsi dəyişər.
   

a

a

a

a
11 12

a

a
21 22
31 32


13 11 12 13

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 

a

a

a

.
23 31 32 33
33 21 22 23

3. 
   İki sətri (sütunu) eyni olan determinant sıfra bərabərdir.
   

a

a

a

a

a

a

a

 a
11 12 13

a

a

a
11 12 13

a
31 32 33
11 12 33

a

a

a

• 
  a
  

12 13 31

a

a

• 
  a
  

11 32 13

a

a

• 
  a
  


13 12 31

a

a

• 
  a
  

11 12 33



a

• 
  a
  

32 13

 0.

4. 
   
   11
   Determinantın hər hansı bir sətrinin (sütununun) bütün elementləri sıfır olduqda determinant sıfra bərabər olar.
   
5. 
   Determinantın hər hansı bir sətir (sütun) elementlərinin ortaq vuruğu olarsa, onda həmin vuruğu determinantın xaricinə çıxarmaq olar.
   

a

ka

a

ka
11 12

a

a
21 22
31 32


13 11 12 13

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 k

a

a

ka

.
23 21 22 23
33 31 32 33

6. 
   Determinantın iki sətri (sütunu) mütənasib olarsa, onda determinant sıfra bərabər olar.
   

25 10
10 4
7 2
45 5
18  5  2 5
0 7
2 9

^{2 9  0} .

2 0

7. 
   Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri iki ədədin cəmi kimi verildikdə, həmin determinant iki determinantın cəminə bərabər olar, bu determinantların birində həmin sətir elementləri olaraq birinci toplananlar, o birində isə həmin sətir elementləri olaraq ikinci toplananlar götürülür:
   

11

a

a

11
 a^



a
21
31
 a^



12

a

a

a

12
22
32
 a^



13

a

a

a

a



a

a

a

a

a

13

11

12
23 21 22
33 31 32


13 11 12 13

a

a

a^

a

a

a^

a

a

a^



a

a

a

.
23 21 22 23
33 31 32 33

8. 
   Determinantın hər hansı sətrinin (sütununun) bütün elementlərini bir ədədə vurub onun başqa bir sətrinin (sütununun) uyğun elementləri üzərinə əlavə etsək, determinant dəyişməz.
   

a

a

a

a
11 12

a

a
21 22
31 32


13

a

a


23

a

33
 (k)

• ka

a

a

a

11

31
21
31

• ka

a

a

a

12

32
22
32

• ka

a

a

a

13

33

.
23
33

9. 
   Hər bir determinant hər hansı bir sətir və ya sütun elementlərinin öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasillərinin cəminə bərabərdir.
   

Determinantın i sətrinə görə ayrılışı

  a_i1 A_i1  a_{i 2} A_{i 2}  ...  a_in A_in  _ a_ij A_ij
j1

⁽ i  1, n ^),

j sütununa görə ayrılışı isə

1 j 1 j 2 j 2 j nj nj
olar.
  a A  a A  ...  a A



^{  a}ij ^Aij
i1

( j  1, n )

10. 
    Determinantın hər hansı bir sətir və ya sütun elementlərinin başqa bir sətir və ya sütunun uyğun cəbri tamamlayıcıları ilə hasillərinin cəmi sıfra bərabərdir.
    

§6. Tərs matris və onun tapılması.

Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisdir. Bu halda

A1 A  AA1  I
(1)

bərabərliyini ödəyən _A^1 matrisinə A matrisinin tərsi deyilir. (1) bərabərliyi göstərir ki,
_A1

matrisi A matrisinin tərsidirsə, onda A matrisi də
_A1
matrisinin tərsidir:

 A1 1  A ^{, (2)}

yəni A və
_A1
matrisləri qarşılıqlı tərs matrislərdir. A matrisinin yalnız və yalnız bir tərs matrisi

ola bilər. Verilmiş A matrisinin
_A1
tərs matrisinin olması üçün onun  determinantının sıfırdan

fərqli olması zəruri və kafi şərtdir. Deməli, determinantı sıfırdan fərqli (   0 ) olan ixtiyari


_ a a ... a _

a
_ 11 12 1n _

22
_{A } ^{ a}21 ^{... a}2 n ^


(3)

^ . . . . . . . . ^


 ^an1
^an 2
...

^ann 

kvadrat matrisinin yeganə tərs matrisi var:

A



A

21
_ 11
...
^An1 ^


_A1 _ ^{1  A12}
...
^An 2 ^
, (4)

A

22
 ^{ . . . . . . . . }
 
A A ... A
 1n 2 n nn 

burada A_ij – A matrisin a_ij elementinin cəbri tamamlayıcısıdır. Qeyd edək ki,

(4) düsturunda A matrisinin hər bir sətir elementlərinin cəbri tamamlayıcıları həmin nömrəli sütuna yazılmışdır.