MühaziRƏ 15. §15. MÜƏYYƏN İnteqralin təTBİQLƏRİ §

MÜHAZİRƏ 15.
§15. MÜƏYYƏN İNTEQRALIN TƏTBİQLƏRİ
§15.1. Müstəvi fiqurun sahəsi
Tutaq ki, yuxarıdan əyrisi və aşağıdan əyrisi ilə və yanlardan və düz xətləri ilə hüdudlanmış müstəvi fiquru verilmişdir (şəkil 1).

Şəkil 1.

parçasını nöqtələri ( bölgüsü) ilə kiçik parçalarına ayıraq. və funksiyalarının parçasında ən kiçik və ən böyük qiymətlərini uyğun olaraq və ilə işarə edək. Hər bir parçasına uyğun iki düzbucaqlı qurmaq olar:

I. düz xətləri ilə hüdudlanmış düzbucaqlıları. Bu düzbucaqlılar cızıqlanmışdır və fiqurunun daxilində yerləşir.

II. düz xətləri ilə hüdudlanmış düzbucaqlıları. Bu düzbucaqlılar fiqurunun uyğun hissəsini öz daxilinə alır.

Birinci növ düzbucaqlıların sahələrinin cəmini

(1)

ilə və ikinci növ düzbucaqlıların sahələrinin cəmini

(2)

ilə işarə edək. bölgüsünün parametri olsun.

Tərif. (1) və (2) cəmlərinin şərtində bir-birinə bərabər olan limitləri varsa, həmin limitə fiqurunun sahəsi deyilir və ilə işarə olunur:

(3)

Sonlu sahəsi olan müstəvi fiqura kvadratlanan fiqur deyilir.

parçasında kəsilməyən və funksiyaları həmin parçada inteqrallanandır. Buna görə də

(4)

olar.

§15.2. Əyri qövsünün uzunluğu
Tutaq ki, müstəvi əyrisi düzbucaqlı koordinat sistemində tənliyi ilə verilmişdir. parçasının ixtiyari bölgüsünə, əyri üzərində, koordinatları uyğun olaraq və olan nöqtələri uyğun olar (şəkil 1).

Bu nöqtələri ardıcıl olaraq düz xətt parçaları ilə birləşdirdikdə əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xətti alınır. Əyrinin vətərinin uzunluğunu ilə işarə edək. Onda əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xəttin uzunluğu

(1)

olar. Sınıq xəttin ən böyük tərəfinin uzunluğu olsun:

Tərif. əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xətt uzunluğunun şərtində sonlu limiti varsa, həmin əyriyə sonlu uzunluqlu əyri və

(2)

limitinə onun uzunluğu deyilir.

Hamar əyrisi üçün (yəni funksiyası və onun törəməsi parçasında kəsilməyən olduqda) (2) limiti var. Doğrudan da, və olduğunu nəzərə alsaq,

olar. Laqranj teoreminə əsasən

olduğundan (1) cəmi

şəklində yazılır. Bu ifadə parçasında kəsilməyən funksiyasının inteqral cəmidir. Buna görə də müəyyən inteqralın tərifinə əsasən

olar. Deməli, hər bir hamar əyrisi sonlu uzunluqlu əyridir və onun uzunluğu

(3)

düsturu ilə hesablanır.

İndi, fərz edək ki, hamar əyrisi

(4)

parametrik tənlikləri vasitəsilə verilmişdir və törəməsi parçasında heç yerdə sıfra çevrilmir. Onda

olduğunu nəzərə alaraq, (3) inteqralında əvəzləməsini ( ) aparmaq olar:

Buradan, (4) parametrik şəkildə verilmiş hamar əyrisinin uzunluğunu hesablamaq üçün

(5)

düsturu alınır.

§15.3. Cisimlərin həcminin hesablanması
Tutaq ki, fəzada cismi verilmişdir. Bu cismin, oxuna perpendikulyar olan müstəvilərlə kəsiyinin sahəsi məlum olduqda, həcmini hesablamaq olar. cisminin nöqtələri absislərinin ən kiçiyi , ən böyüyü isə olsun (şəkil 1).



cisminin parçasının nöqtəsində oxuna perpendikulyar keçirilmiş müstəvi ilə kəsiyinin sahəsini ilə işarə edək. Fərz edək ki, funksiyası parçasında kəsilməyəndir.

İndi parçasının istənilən bölgüsünü götürək və bölgü nöqtələrindən oxuna perpendikulyar müstəvilər keçirək. Bu müstəvilər cismini laylara bölür. Hər bir laya kiçik bir silindr kimi baxsaq, onda parçasına uyğun layın oturacağının sahəsi , hündürlüyü və həcmi təqribən ədədinə bərabər olar.

Onda bütün silindrlərin həcmi üçün

(1)

ifadəsini alarıq. bölgüsünün parametrini ilə işarə edək.

Tərif. (1) cəminin şərtində limiti varsa, həmin limitə cisminin həcmi deyilir və ilə işarə edilir:

(2)

Sonlu həcmi olan cismə kublanan cisim deyilir.

(1) cəmi funksiyasının parçasının istənilən bölgüsünə uyğun inteqral cəmidir. Buna görə də, (2) bərabərliyindən müəyyən inteqralın tərifinə əsasən cisminin həcmini hesablamaq üçün

(3)

düsturunu alarıq.

Əgər cismi əyrisinin oxu ətrafında fırlanmasından alınmışsa, onda onun oxuna perpendikulyar müstəvilərlə kəsikləri dairələr olar. Bu halda

olar və buna görə də (3) düsturundan

(4)

alınar.

Xüsusi halda, əyriləri və düz xətləri ilə əhatə olunmuş fiqurun oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmi

(5)

düsturu ilə hesablanar.