Mühazirə 3 metrik fəzalar

2.2. Metrik fəzada ardıcıllığın limiti

Tutaq ki, hər hansı metrik fəzadır, isə fəzasında hər hansı elementlər ardıcıllığıdır.

Tərif. Əgər olarsa, bu halda ardıcıllıq yığılan ardıcıllıq, elementi isə ardıcıllığının limiti adlanır və kimi işarə olunur. Metrik fəzalarda yığılan ardıcıllıqlar haqqında aşağıdakı ümumi teoremləri isbat etmək olar.
Teorem 1. Əgər metrik fəzasında ardıcıllığı elementinə yığılan isə, onda onun istənilən altardıcıllığı da elementinə yığılır.
Teoremin isbatı çox sadə olduğundan verilmir.
Teorem 2. Metrik fəzada elementlər ardıcıllığının ən çoxu bir limiti ola bilər.
İsbatı. Əksini fərz edək, tutaq ki, və . Onda istənilən ədədi üçün kifayət qədər böyük nömrələri üçün və .
Üçbucaq aksiomuna görə

. və qeyd edilmiş elementlər olduğundan və istənilən kiçik müsbət ədəd olduğundan alarıq. Buradan .
Teorem 3. Əgər fəzasında ardıcıllığı elementinə yığılırsa, onda fəzanın istənilən elementi üçün ədədi ardıcıllığı məhduddur.
İsbatı. , olduğu üçün məhduddur, yəni elə ədədi vardır ki, . Onda üçbucaq aksiomuna görə istənilən üçün yaza bilərik:

yəni alarıq. Teorem isbat olundu.