Mundarija: Kirish Asosiy qism

Isbot. Teorema shartiga ko‘ra (4) tenglik o‘rinli. Limitning ta’rifiga ko‘ra ixtiyoriy >0 son uchun shunday n₀ natural son topilib, barcha n>n₀ larda quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:
l- < a_n+1/a_n < l+ (5)
1) Agar bo‘lsa, u holda shunday >0 son topilib, q=l+<1 bo‘ladi. U holda shu >0 songa mos n₀ natural son topilib, barcha n>n₀ larda a_n+1/a_n < q tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan

Endi, |q|<1 da qator yaqinlashishidan = qatorning, demak, qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi.
2) Agar bo‘lsa, u holda shunday  > 0 topilib, q =l- > 1 bo‘ladi. (3) munosabatdan barcha n>n₀ larda a_n+1/a_n > q tengsizlik, yoki a_n+1>a_nq tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa biror haddan boshlab qator hadlari o‘suvchi ekanligini anglatadi. Demak, qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi. Qator uzoqlashuvchi.
l=1 bo‘lgan holda bu alomat qatorning yaqinlashuvchi bo‘lish-bo‘lmasligini aniqlash imkonini bermaydi.
4-misol. Qatorni yaqinlashishga tekshiring:

Yechish. Ravshanki, , . (4) formuladan quyidagini topamiz:
.
Demak, qator uzoqlashuvchi.
Qatorning yaqinlashishi to‘g‘risida Dalamber alomati asosida xulosa chiqarish mumkin emas. Taqqoslash alomatiga ko‘ra (masalan, garmonik qator bilan taqqoslang), qatorning uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rish mumkin.


4. Koshining radikal alomati.
4-teorema. Agar
(6)
musbat hadli qator uchun

chekli limit mavjud bo‘lsa, u holda p<1 da berilgan qator yaqinlashuvchi, p>1 da esa uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik p<1 bo‘lsin. Ushbu p<q<1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror q sonni tanlaymiz. U holda bo‘lganligi sababli n=k nomerdan boshlab, yoki
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa
(7)
munosabatlar o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
0<q<1 bo‘lganligi sababli,
(8)
geometrik qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Qaralayotgan (6) qatorning k-hadidan boshlab barcha hadlari ((7) munosabatga ko‘ra) (8) qatorning mos hadlaridan kichik. Demak taqqoslash alomatiga ko‘ra (6) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Endi p>1 bo‘lsin. U holda bo‘lganligi sababli, biror n=k nomerdan boshlab bo‘ladi. Bundan . Demak (6) qatorning umumiy hadi da nolga intilmaydi, ya’ni (6) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1-izoh. Agar bo‘lganda (6) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi, chunki bu holda ham biror k nomerdan boshlab bo‘ladi.
2-izoh. mavjud bo‘lmagan yoki mavjud va 1 ga teng bo‘lgan holda, Koshi alomati qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligi haqidagi masalaga javob bermaydi.
Haqiqatdan ham, masalan qator yaqinlashuvchi, lekin .
1+1+ 1+…+1… qator uzoqlashuvchi, lekin bu qator uchun .
5-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. .
Qator uzoqlashuvchi.

5. Koshining integral alomati.
5-teorema. Agar funksiya [1;) oraliqda nomanfiy, integrallanuvchi, monoton kamayuvchi hamda qator hadlari uchun tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda qator va xosmas integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki bir vaqtda uzoqlashuvchi bo‘ladi; yaqinlashuvchi bo‘lgan holda
  +a₁ (9)
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. funksiya monoton kamayuvchi, demak kxk+1 tengsizliklardan f(k)  f(x)  f(k+1) kelib chiqadi. Bu qo‘sh tengsizlikni k dan k+1 gacha integrallab,
  , yoki f(k)=a_k bo‘lganligi uchun a_k   a_k+1 qo‘sh tengsizliklarga erishamiz. So‘ngi tengsizliklarni k=1, 2, , n uchun yozamiz:
a₁   a₂,
a₂   a₃,
. . . . . . . . . . . . . . .
a_n   a_n+1.
Bularni hadma-had qo‘shib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
S_n   S_n+1-a₁ (10)
Quyidagi hollarni qaraymiz.
1) integral yaqinlashuvchi va I ga teng. U holda I va S_n+1 I+a₁=C, yoki barcha natural n larda S_n  I. Demak, {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, bundan musbat qator yaqinlashuvchi.
Va aksincha, agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, demak umumiy hadi I_n+1= bo‘lgan monoton o‘suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi, ya’ni integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2) integral uzoqlashuvchi bo‘lsin. U holda S_n  tengsizlikdan {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan, bundan qator uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Agar da qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda uning xususiy yig‘indilaridan iborat {S_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan, demak, umumiy hadi I_n+1= bo‘lgan ketma-ketlik ham chegaralanmagan. Bundan integralning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
Qator yaqinlashuvchi bo‘lgan holda (10) qo‘shtengsizlikda n limitga o‘tib,
S   S-a₁ munosabatga, bundan (9) ga ega bo‘lamiz.
6-misol. Umumlashgan garmonik qator deb ataluvchi

qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. va ekanligi ravshan, bu yerda r-haqiqiy son.
Ushbu

xosmas integralni hisoblaymiz.
Agar r>1 bo‘lsa, u holda va yaqinlashuvchi;
Agar r<1 bo‘lsa, u holda va uzoqlashuvchi;
Agar r=1 bo‘lsa, u holda uzoqlashuvchi.
Shu sababli umumlashgan garmonik qator r>1 bo‘lsa yaqinlashuvchi, r1 bo‘lsa uzoqlashuvchi bo‘ladi.


6. Raabe alomati.
6-teorema. (1) qatorning hadlari musbat va bo‘lsin. U holda

1. 
   agar r > 1 bo‘lsa, (1) qator yaqinlashuvchi;
   
2. 
   agar r < 1 bo‘lsa, (1) qator uzoqlashuvchi
   

bo‘ladi.
Misol. 1+ qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu qator uchun Dalamber alomati natija bermaydi, chunki . Raabe alomatini tatbiq etamiz:
r = . Demak, r=1,5 > 1 bo‘lganligi uchun qator yaqinlashuvchi.

Xulosa

Biz mazkur ishda, musbat hadli qatorlarni, ularning yaqinlashishi, uzoqlashishi, yaqinlashish alomatlari hamda yaqinlashuvchi qatorlarning xossalarini o’rganamiz.

Mаtеmаtik аnаlizning ko’p mаsаlаlаrini yеchishdа qo’shiluvchilаr sоni chеkli yoki chеksiz bo’lgаn yig’indilаr bilаn ish ko’rishgа to’g’ri kеlаdi.
Bu chеksiz qo’shiluvchilаr hаqiqiy sоnlаrdаn tаshqаri funksiyalаrdаn yoki vеktоrlаrdаn yoki mаtrisаlаrdаn (yoki mа’lum bir chеkli yoki chеksiz оb’еktlаrdаn) ibоrаt bo’lgаn hоllаrdа ulаrning yig’indisini tоpish аnchа murаkkаb bo’lаdi. Bu hоllаrdа qo’yilgаn mаsаlаlаrni yеchishdа yuqorida biz ko’rib chiqqan qаtоrlаr nаzаriyasi kаttа аhаmiyatgа egа.
Matematik analiz fanining dastlabki elementlari hozirda akadenik litsey va kollejlar matemika kursida uchraydi. Shunday ekan, bunday ta’lim muassasalarida o’qituvchi bo’lib ishlashni maqsad qilgan talaba fanni puhta o’rganishi muhim.
Kurs ishni tayyorlash davomida matematik analiz fani qiziqarli fan ekanligini yana bir bor his qildim. Ayniqsa ishning mavzusi nazariyada eng ko’p o’rganilgan mavzulardan biridir. Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalarni integrallashda ularni hosilaga nisbatan yechilgan tenglamaga aylantirishga harakat qilinadi. Yoki yuqori tartibli differensial tenglamalarni integrallashda, ularning tartibi pasaytirilib hosilaga nisabatan yechilgan tenglamaga olib kelishga urinamiz. Hulosa qilib aytganda hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli tenglamalar differensial tenglamalar fanning negizi deb aytish mumkin. Fanning boshqa fanlar bilan chambarchas bog’langanligi, uning tadbiq ko’lamini kengligidandir. Lekin bu fanga oid adabiyotlarni o’zbek tilida kam ekanligi va o’zimni rus tilini yahshi bilmasligim ishni tayyorlashim qiyin kechishiga sabab bo’ldi.