Mustaqil ish -5: Oddiy differensial tenglamalar

3-§. Chiziqli differensial tenglamalar va ularga keltiriladigan tenglamalar.

Noma‘lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo’lgan

(1)
ko’rinishdagi tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bu yerda P(x) va Q(x) biror oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar. Agar Q(x)=0 bo’lsa, (1) tenglama bir jinsli, aks holda bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Dastlab

bir jinsli chiziqli differensial tenglamani yechish bilan shug’ullanamiz.
Ravshanki, bu tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’ladi. Uni integrallaymiz:
.
Bundan umumiy yechimga ega bo’lamiz .
Bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglama asosan 2 ta usul bilan yechilishi mumkin. Bu usullar mos ravishda Bernulli² va Lagranj³ usullari deb yurutiladi.

1. 
   Bernulli usuli.
   

Bu usulda noma‘lum funksiya ko’rinishda ifodalaniladi, bu yerda u funksiya
(2)
tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni
. (3)
hosilani berilgan (1) tenglamaga qo’yib, quyidagilarga ega bo’lamiz:

.
Bundan (2) va (3) ni inobatga olsak, noma‘lum v funksiya uchun
,
munosabatlarga ega bo’lamiz.
Integrallab v ni topamiz :
;
Natijada , yani
.

2. 
   Lagranj usuli.
   

Dastlab bir jinsli

tenglamaning yechimi topiladi.
Bundan keyin С parametrni х o’zgaruvchining funksiyasi deb o’linadi va (1) tenglamaning yechimi
(4)
ko’rinishda qidiriladi.
Ravshanki,
.
(1) ga qo’yamiz:
va natijada С(х) ga
nisbatan tenglamaga kelamiz:

Bundan va ni topamiz.
С(х) ni (4) ga qo’yib

umumiy yechimga ega bo’lamiz. Kutilganidek, ikkala usul ham bir xil natijaga olib keldi.
Endi biz chiziqli tenglamaga olib kelinadigan muhim tenglamani o’rganamiz.
n0 va n1 bolsin
, n0, 1 (5)
qo’rinishdagi tenglama Bernulli tenglamasi deb yuritiladi.
almashtirish yordamida Bernulli tenglamasi chiziqli tenglamaga keltirishini ko’rsatamiz.
Buning uchun (5) tenglamaning ikkala tarafini yⁿ ga bo’lamiz:
.
Bundan ni inobatga olib, z ga nisbatan chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz:
,
Misol. Quyidagi tenglamalarning umumiy yechimini toping.

Yechish. tenglama chiziqli differensial tenglama.
Bernulli usulidan foydalanamiz. y=uv deylik. U holda =vu +uv bo’ladi va bularni berilgan tenglamaga qo’ysak, u quyidagi
ko’rinishga keladi.
v+2xv=0 bo’lishini talab qilamiz. O’zgaruvchilarni ajratib, ni hosil qilamiz, bu yerdan . deb xususiy yechim bilan cheklanish mumkin. v ning ifodasini almashtirilgan tenglamaga qo’yamiz:
Bu yerdan: ma‘lumki, y=uv, u holda umumiy yechim ko’rinishda hosil bo’ladi.

Javob:

b) tenglama

chiziqli differensial tenglamaga olib kelinadi (x 0).
Bu tenglamani Lagranj usuli yordamida yechamiz:
Dastlab bir jinsli

tenglamaning yechimini topamiz.
.
Bundan keyin С parametr х o’zgaruvchining funksiyasi deb o’linadi va (1) tenglamaning yechimi

ko’rinishda izlanadi.
Ravshanki,
.
ga qo’yamiz:
va natijada С(х) ga
nisbatan tenglamaga kelamiz:

Bundan ni topamiz.
С(х) ni ga qo’yib

umumiy yechimga ega bo’lamiz.
Javob:
c) tenglama Bernulli tenglamasidir. Uning ikkala qismini y² ga bo’lib, deb olamiz, u holda

Bundan ko’rinishdagi chiziqli tenglama hosil bo’ladi. Uning umumiy yechimi: bo’ladi.
z ni bilan almashtirib, berilgan tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz.
Javob: .
d) Dastlab berilgan tenglamani ko’rinishda yozib olamiz. Bu tenglama x=x(y) funksiyaga nisbatan chiziqli tenglamadir. Shu sababli x=uv almashtirish bajaramiz. U holda x=uv+uv. Olingan natijalarni so’ngi tenglamaga qo’ysak,

hosil bo’ladi.
Javob:
Masala. Egri chiziqning istalgan M(x,y) nuqtasi uchun OM kesma, shu nuqtadan o’tkazilgan MP urinma va Ox o’q hosil qilgan uchburchakning yuzi 4 ga teng. Egri chiziq A(1,2) nuqtadan o’tadi. Uning tenglamasini toping. (6-rasm)
Y
echish. Uchburchakning yuzi formula buyicha topiladi, bu yerda MC=y son M nuqtaning ordinatasi. OP ni topishda uning MP urinmaning Ox o’q bilan kesishish nuqtasining abssissasi ekanligidan foydalanamiz, MP urinmaning tenglamasi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
Y - y= (X - x).
Bu tenglamada Y=0 desak, ni hosil qilamiz.
Masalaning shartiga asosan yoki
differensial tenglama hosil bo’ladi.
Bu y argumentning noma‘lum x funksiyasiga nisbatan chiziqli differensial tenglama. x=uv almashtirish bajargandan so’ng umumiy integral ni hosil qilamiz.
x=1 da y=2 demak, . Natijada egri chiziqning izlanayotgan tenglamasini ushbu ko’rinishda 6-rasm
hosil qilamiz: .
Javob: .
Masala. m massali nuqta vaqtga proporsional bo’lgan kuch ta’sirida to’g’ri chiziqli harakat qilmoqda. Boshlangich t=0 vaqt momentida v=0 bo’lsin. Havo qarshiligi tezlikka proporsional bo’lgan holda tezlikni t ning funksiyasi sifatida aniqlang.
Yechish. t momentda nuqtaga ikkita kuch, yani vaqtga proporsional bo’lgan kuch va havoning qarshilik kuchi ta’sir etadi; ularning umumiy ta’sir etuvchisi quyidagicha:

Ikkinchi tomondan, Nyutonning ikkinchi qonuniga binoan . F uchun topilgan ikkala ifodani taqqoslab, tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglama v ga nisbatan chiziqli differensial tenglamadir. Uni yechishda Bernulli usulini qo’llab, almashtirish kiritamiz, u holda
.

Umumiy yechimga boshlang’ich shartdan foydalanib, ni topamiz, u holda izlanayotgan tezlik ushbu ko’rinishda bo’ladi:

Javob:
Quyidagi tenglamalarni umumiy yechimlarini toping (3.1-3.16.).

3.5. 3.6.

3.11. . 3.12.
3.13. . 3.14. .
3.15. . 3.16.
Quyidagi differensial tenglamalarning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlarini toping (3.17-3.22).

3.21. . 3.22.
3.23. m massali moddiy nuqta vaqtning kubiga proporsional (k-proporsionallik koeffitsienti) kuch ta’sirida to’g’ri chiziqli harakat qilmoqda. Tezlik bilan vaqtning ko’paytmasiga proporsional (k₁ - proporsionallik koeffitsienti) bo’lgan havo qarshiligini hisobga olgan holda tezlikning t vaqtga bog’lanishini toping. Boshlang’ich tezlik v₀ ga teng.
3.24. Elektr yurituvchi kuchi ga, qarshiligi R ga o’zinduktivlik koeffitsienti L ga teng bo’lgan g’altakdagi I tok kuchini t vaqtning funksiyasi kabi toping. (Boshlang’ich tok kuchi =0 ga teng )
3.25. m massali moddiy nuqtaga t vaqtga proporsional bo’lgan kuch ta’sir etadi (k₁-proporsionallik koeffitsienti). Tezlikka proporsional (k - proporsionallik koeffitsienti) bo’lgan havo qarshiligini hisobga olgan holda nuqtaning tezligini toping. (Boshlang’ich t=0 vaqt momentida v₀=0)
3.26. nuqtadan o’tuvchi shunday egri chiziqni topingki, uning istalgan nuqtasining abssissasi va shu nuqtada o’tkazilgan urinmaning boshlang’ich ordinatasi yordamida qurilgan to’g’ri to’rtburchakning yuzi o’zgarmas bo’lib, ga teng bo’lsin.
3.27. A(1,2) nuqtadan o’tadigan egri chiziqning istalgan urinmasining boshlang’ich ordinatasi urinish nuqtasining abssissasiga teng. Uning tenglamasini toping.