Mustaqil ish -5: Oddiy differensial tenglamalar

2-§. Bir jinsli differensial tenglamalar.

Agar t parametrning ixtiyoriy noldan farqli qiymatida ayniyat bajarilsa, f(x,y) funksiya n- tartibli bir jinsli funksiya deyiladi.

Masalan, funksiya uchun
.
Demak, bu funksiya 3- tartibli bir jinsli bo’ladi.
Agar f(x,y) - nol - tartibli bir jinsli funksiya bo’lsa, u holda
(1)
differensial tenglama bir jinsli deyiladi.
Ravshanki, bir xil tartibli bir jinsli P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar qatnashgan
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (2)
tenglama bevosita bir jinsli differensial tenglamaga olib kelinadi va shunung uchun u ham bir jinsli tenglama deb yuritiladi.
(1) tenglamani, shuningdek, (2) tenglamani o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltirish mumkin.
f(x,y) - nol - tartibli bir jinsli funksiya bo’lgani uchun quyidagi ayniyatga ega bo’lamiz:

t parametrni ixtiyoriy tanlab olishimiz mumkinligidan foydalanib, bu ayniyatda almashtirishni amalga oshirsak,

ayniyatni hosil qilamiz.
y = ux formula orqali yangi izlanayotgan u funksiyani kiritib
(3)
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda
.
y = ux bo’lgani uchun,
.
bo’ladi. Buni (3) qo’yamiz:
.
Natijada u funksiyaga nisbatan

ko’rinishdagi o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamani integrallash quyidagicha amalga oshiriladi.

Bundan keyin hosil bo’lgan umumiy integralda yordamchi u funksiya o’rniga ifodani qo’yamiz.
Ushbu

ko’rinishdagi tenglama bir jinsli yoki o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi.
Agar bo’lsa almashtirish amalga oshiriladi, bu yerda  va  sonlar tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi.
Natijada bir jinsli tenglamani hosil qilamiz.
Agar bo’lsa, berilgan tenglama

ko’rinishda bo’ladi, bunda . Bundan keyin
yoki
almashtirish berilgan tenglamani o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiradi.
Masala. Quyidagi tenglamarning umumiy yechimini toping:
; ;
;
d)
Yechish. tenglama tarkibidagi funksiyalar ikkalasi ham ikkinchi tartibli bir jinsli funksiyalar bo’lgani uchun bu tenglama bir jinsli tenglama bo’ladi.
Shuning uchun y=xu almashtirishni qo’llaymiz. U holda dy=xdu+udx va tenglama yoki ko’rinishda bo’ladi.
O’zgaruvchilarni ajratamiz: va hosil qilingan tenglamani integrallaymiz:
(4)
O’ng tomondagi integralni topamiz:
.
Topilgan ifodani (4) ga qo’ysak,
, yani yoki ga ega bo’lamiz.
So’ngi ifodadagi u o’rniga ni qo’yib, umumiy yechimni topamiz.
Javob: .
b) Berilgan tenglamani ko’rinishda yozsak uni bir jinsli differensial tenglama ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
y=xu almashtirishni qo’llaymiz. U holda . Bu ifodalarni berilgan tenglamaga qo’ysak bo’ladi. O’zgaruvchilarni ajratib, ni hosil qilamiz, bu yerdan arcsin u=ln|Cx|.
Bundan u=y/x bo’lgani uchun, umumiy integralni topamiz. Natijada umumiy yechim topiladi.
c) Berilgan tenglamani
(5)
ko’rinishda yozib olamiz.
bo’lgani uchun almashtirishlarni amalga oshiramiz, bu yerda  va  parametrlar tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi.
Bu sistemani yechamiz:

Endilikda larni (5) ga qo’yamiz
;
;
;
.
Hosil bo’lgan bir jinsli tenglamani yechish uchun belgilash kiritamiz. U holda: .
Natijada o’zgaruvchilari ajralgan

tenglamani hosil qilamiz.
Uni integrallaymiz:
;



.
t = , bo’lgani uchun

bo’ladi. Endi y va x larga qaytamiz:





Bundan berilgan tenglamaning umumiy integralini hosil qilamiz.
Javob: .
d) Berilgan tenglamani

ko’rinishda yozib olamiz.
bo’lgani uchun almashtirishni amalga oshiramiz.
U holda

O’zgaruvchilarni ajratamiz: .
Oxirgi tenglamani integrallaymiz:


Endi y va x larga qaytamiz:


.
Javob: .
Masala. Ko’zguning shunday shaklini topingki, unga berilgan nuqtadan tushgan hamma nurlar ko’zgudan qaytganda berilgan yo’nalishga parallel bo’lsin.
Yechish. Koordinata boshini berilgan nuqtaga deb olamiz va abssissalar o’qini berilgan yo’nalishga parallel ravishda yo’naltiramiz.
Nur ko’zguning N(x,y) nuqtasiga tushsin. Agar Ox o’q bilan egri chiziqning N(x,y) nuqtasiga o’tkazilgan AN urinma orasidagi burchakni  orqali belgilasak, u holda masala shartiga ko’ra: . Ikkinchi tomondan nurning tushish burchagi uning qaytish burchagi ga teng bo’lganidan shu burchaklarni ga to’ldiruvchi burchaklar sifatida va bundan . Shunday qilib, OAM uchburchak teng yonli va AO=OM (4-rasm).

4-rasm
Bunda:
.
Natijada ushbu differensial tenglamani hosil qilamiz (bu yerda y – erkli o’zgaruvchi):
yoki .
Bu tenglama birjinsli tenglama bo’ladi.
x=yz almashtirishni bajarsak hosil bo’ladi. Bundan
yoki , ya’ni
z ni tenglamaning o’ng tomoniga o’tkazib, so’ngra hosil bo’lgan tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak, quyidagiga ega bo’lamiz:
yoki x ga qaytib, ni hosil qilamiz.
Demak, ko’zguning izlanayotgan shakli parabolalar oilasiga mansub.
Javob: .
Masala. Istalgan M(x,y) nuqtasida o’tkazilgan urinmaning ordinatalar o’qidan kesgan kesmaning OM vektorning uzunligiga nisbati o’zgarmas bo’lgan egri chiziqni toping.
Yechish. Izlanayotgan egri chiziqda ixtiyoriy M(x,y) nuqta olamiz. (5-rasm). M nuqta orqali o’tkazilgan urinmaning tenglamasi:

k
o’rinishga ega bo’ladi, bu yerda X, Y - nuqtalarning o’zgaruvchi koordinatalari, - izlanayotgan funksiyaning berilgan nuqtadagi hosilasi. Urinmaning Oy o’qidan ajratgan OB kesmasini topish uchun X=0 deymiz. U holda OB=Y=y-x . Shartga ko’ra , bu yerda a=const.
U holda ko’rinishdagi bir jinsli tenglamaga ega bo’lamiz.
y=xu almashtirishni bajarsak, tenglamani hosil qilamiz. Uni integrallaymiz: .
Bu yerda u ni tenglikning o’ng tomoniga o’tkazib, so’ngra hosil bo’lgan tenglikning ikkala qismini kvadratga ko’tarsak, quyidagiga ega bo’lamiz: , eski y o’zgaruvchiga qaytsak, qo’yilgan masalaning yechimini hosil qilamiz: 5-rasm
.
Javob: .
Quyidagi differensial tenglamalarning umumiy yechimini toping (2.1-2.12).


2.7. (x-2y-1)dx+(3x-6y+2)dy=0. 2.8. (4x-3y)dx+(2y-3x)dy=0.
2.9. 2.10.
2.11. 2.12.

Quyidagi differensial tenglamalarning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimlarini toping (2.13-2.17).

2.13. . 2.14. .
2.15. . 2.16. .
2.17. .
2.18. Ox o’qiga parallel hamma nurlar ko’zgudan qaytib bitta nuqtadan o’tadi. Shu ko’zguning shaklini toping.
2.19. A(0,1) nuqtadan o’tuvchi shunday egri chiziqni topingki, uning istalgan M nuqtasining OM radius-vektori, shu nuqtadan o’tkazilgan urinma va Oy o’qi hosil qilgan uchburchak teng yonli bo’lsin.
2.20. Egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasidan o’tkazilgan urinmasining burchak koeffitsienti urinish nuqtasi radius-vektori burchak koeffitsientining kvadratiga teng. Agar bu egri chiziq (2,-2) nuqtadan o’tsa, uning tenglamasini toping.