Mustaqil ish bajardi: sarsenov manas tekshirdi: husenov behzod

Teorema isbotlandi.


Teorema 2. f : A  B akslantirish va X ,Y  B lar uchun f X  Y   X  Y  tenglik o’rinli.(Birlashmaning proobrazi proobrazlar birlashmasiga teng.)


Isboti: a  X Y elementni olaylik, bu f a X Y ekanini bildiradi, ya’ni f a X yoki f aY . Agar f a X bo’lsa, u holda proobraz ta`rifiga ko’ra a  X  bo’ladi, bundan esa a  X  Y ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, agar f aY bo’lsa, u holda a  X  Y. Bundan
X  Y  X  Y  kelib chiqadi.

Endi aksincha qism to’plam bo’lishini ko’rsatamiz.

a  X  Y  bo’lsin, bundan a  X  yoki f aY . Agar a  X)
bo’lsa,u holda f a X bo’ladi. Shuningdek, f a X Y bo’ladi,bundan a  X  Y  kelib chiqadi. a  X) bo’lgan hol gam shunday yo’l bilan isbotlanadi va XUF 1Y  X UY hosil qilinadi.Bu ikkita isbotlangan qism to’plamlar birlashtirilsa, talab qilingan tenglikka kelamiz.
X UY  X U Y.
Teorema isbotlandi.
Teorema 3. f : A  B akslantirish va X ,Y  A lar uchun f X Y f X f Y tenglik o’rinli.


Isboti: b f X Y bo’lsin. Obraz ta’rifiga ko’ra, shunday a  X  Y elementlar to’piladiki, ular uchun f a b tenglik o’rinli. a  X  Y ekanligidan a  X  a Y kelib chiqadi, demak, f a b f X va f a b f Y ,ya’ni
b f X f Y. Bulardan talab qilingan tasdiq kelib chiqadi:
f X Y f X f Y
b f X Y Teorema isbotlandi.
Misol 2. Teskari tasdiq o’rinli bo’lmasligini misol yordamida ko’ramiz.
f x x2 : R  R 0
akslantirish bo’lsin.


X va Y to’plamlar sifatida X 1;0, Y 0;1 larni ko’raylik. Ravshanki,
f X 0;1, f Y 0;1, demak ularning kesishmasi f X f Y 0;1. So’ngra
1;00;1 0 ekanligidan f X Y f 00 ni aniqlaymiz. Bu holda qism to’plam bo’lish f X f Y f X Y munosabati bajarilmaydi.
Teorema 4. f : A  B akslantirish va X ,Y  B to’plamlar uchun X  Y X  Y tenglik o’rinli.


Isboti: a X Y bo’lsin,ya’ni f a b X Y ,demak, b X  bY shuning uchun a X) va a Y) bundan a X Y,
Demak, X Y X Y.
Endi teskari munosabatni isbotlash uchun a X Y ni olamiz, bundan
a X) va a Y), demak, f a X va f aY ,ya’ni f a X Y,
shuningdek, a X Y o’rinli ekanligi kelib chiqadi.Bundan esa
X  Y  X  Y . Olingan qism to’plamlar birlashtirilsa, talab qilingan tenglikka kelamiz:
X  Y  X  Y.
Teorema isbotlandi.
Ta’rif 4. Agar munosabat qismiy funktsiya bo‘lsa, ya’ni  x1, x2 Dl ( f ) dan olingan x1  x2 uchun f (x1)  f (x2) bajarilsa, f funktsiyaga o’zaro bir qiymatli funktsiya yoki in’yektiv funktsiya deyiladi va f :A 11B kabi belgilanadi.
Demak, in’yektiv funktsiyada takrorlanuvchi qiymatlar bo’lmaydi. Bundan
f ( x1)  f (x2) dan x1  x2 kelib chiqadi.
Misol 3. f x 4х 3 funktsiya f x: R  R in’yektiv funktsiya bo’lishini ko’rsating.
Yechilishi: Faraz qilaylik, f ( x1)  f (x2) bo’lsin, ya’ni 4х1  3  4х2  3, bundan 4х1  4х2 , х1  х2 kelib chiqadi. Demak, f – in’yektiv funktsiya bo’ladi.
Tarif 5. Agar (f)=B bo’lsa, f :A  B funktsiya A ni B ga ustiga akslantirish yoki syur’yektiv funktsiya deyiladi va f :A  ustiga B kabi belgilanadi.
Misol 4. 3-misoldagi f x 4х 3 funktsiyaning syur’yektivlikka tekshiramiz.
Yechilishi: Aytaylik, bR bo’lsin. Ta’rifga ko’ra , f – syur’yektiv funktsiya bo’lishi uchun (a)=b o’rinli bo’ladigan shunday haqiqiy son a  R ni topish mumkin. Buning uchun b  4a  3 deb olsak, a= son topiladi. Demak, f-syur’yektiv funksiya.
Ta’rif 6. Ham in’yektiv, ham syur’yektiv bo`lgan f funktsiya A va B to‘plamlarning biyektiv funktsiyasi deyiladi va f : AB kabi belgilanadi.
Misol 5. f x 4х 3 funktsiya ham in’yektiv, ham syur’yektiv, demak biyektiv ham bo’ladi.
Umuman olganda, f x axb a  0 akslantirishlarning barchasi f x: R  R biyektsiya bo’ladi.


Misol 6. fxsin x tenglik uchun:
a) f x: R  R akslantirish in’yektsiya ham, syur’yektsiya ham bo’lmaydi.
b) f x: R 1;1 akslantirishni olsak, bu syur’yektiv akslantirish bo’ladi, lekin in’yektiv bo'lmaydi.
v) f x: 2 ; 21;1 deb oladigan bo’lsak, bu akslantirish biyektsiya bo’ladi.
Kektirilgan tuzilishi, ko’rinadiki, f : A  Bx akslantirishlarda nafaqat f amalning tuzilishi, balki A va B to’plamlarning ham tuzilishi muhim rol o’ynaydi.
Ta’rif 7. 1) f : A  B – biyektiv akslantirish bo’lsin. f akslantirishga teskari akslantirish deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi akslantirishga aytiladi:

а) Dl  Drf  B;
b) Dr  Dlf  A;
v) ixtiyoriy x A uchun f x y  x  y
2) Id A : A A akslantirish quyidagicha aniqlanadi;
а) DlId A DrId A A ;
b) ixtiyoriy x A uchun IdA x x .


IdA ga A da birlik akslantirish yoki ayniy akslantirish deyiladi.
Misol 8. fi : R  R ,i=1,2,3, funktsiyalarni qaraylik.

1. 
   = funktsiya in’yektiv, lekin syur’yektiv emas.
   
2. 
   =xsinx funktsiya in’yektiv emas,lekin syur’yektiv.
   
3. 
   =2x-1 funktsiya ham in’yektiv, ham sur’yektiv, demak biyektiv bo’ladi.
   

Misol . Aksalantirish diagramasi.

h funksiya yuqoridagi akslantirish diagrammasi orqali aniqlangan boʻlsin. h^{-1}(9) qiymati nechaga teng?
Yechim
Bizga h funksiyaga oid maʼlumot berilib, h^{-1} funksiya haqida savol berilgan. Teskari funksiyalar akslantirish yoʻnalishlari bir-biriga teskari boʻlgani sababli fikrimizni ham oʻzgartirishimiz kerak.
Jumladan, h^{-1}(9) qiymatni topish uchun h erksiz oʻzgaruvchiga mos boʻlgan 9 erkli oʻzgaruvchini topamiz. Chunki agar h^{-1}(9)=x boʻlsa, u holda teskari funksiya taʼrifiga koʻra, h(x)=9 boʻladi.
Akslantirish diagrammasidan h(6)=9 ekanini koʻramiz va shu bois h^{-1}(9)=6 boʻladi.
2-usulda yeshib koramiz.
Biz h^{-1} funksiyasining chiziqli diagrammasini topish uchun h funksiya chiziqli diagrammasini teskarisiga oʻgirishimiz mumkin.

Ikkinchi diagrammadan h^{-1}(9)=6 ekanini koʻramiz.

XULOSA
Bu mustaqil ishda biz to‘plamlarda akslantirish (obraz, proobraz). Chekli to‘plamlar uchun akslantirish xossalari ko’rib shiqdik va o’rganib oldik.Mustaqil ishda masalalar keltirib otdik va masala yeshib organib oldik.
Foydalangan adobiyatlar va saytlar:
S.S.SADADINOVA Diskret Matematika kitobidan.
http://kompy.info/algoritmlarni-loyihalash-fanidan-mustaqil-ishi.html?page=3
https://uz.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/introduction-to-inverses-of-functions/a/intro-to-inverse-functions