4 - lemma: (3) tenglama koeffitsientlari uchun 3-lemma va , , shartlari bajarilsin. Keyin (3) ning ihtiyoriy to'g'ri tebranishsiz yechimi uchun
ga
ega bolamiz.
bolsa, (1) tenglama yechimining asimptotikasi uchun VKB yechim quyidagi korinishga ega bolib:
,
bu yerda bolsa,
chiziqli holatda [7] malum bolgan VKB yechimga otadi.
2-teorema: da bolsin. Keyin bolganda (1) tenglamaning maxsus (finit) yechimi
dan aniqlangan asimptotik korinishga ega boladi:
,
bu yerda c > 0 doimiy, .
Isbot: Xardi korinishidagi VKB yechim bu holda quyidagi korinishga ega boladi:
funksiyaning nuqtaning chap atrofida (1) tenglmaning maxsus (finit) yechim asimptotikasi mavjudligini korsatamiz.
Tenglamaning yechimini quyidagi korinishda qidiramiz:
.
Song ni (1) tenglamaga qoyib, uchun quyidagiga ega bolamiz:
- bolganda aniqlangan funksiya. Shuning uchun biz oxirgi tenglama uchun 5-lemmani qabul qilishimiz mumkin. da ga ega bolamiz, bu 2-teoremaning togriligini isbotlaydi. Xuddi shunday, agar g(x) dan kattaroq silliqlik talab qilinsa, misol uchun , bolganda (1) tenglamaning maxsus (finit) yechimi asimptotikaga ega bolishi isbotlanadi:
tenglamaning yechimidan nuqta aniqlanadi.
Bundan, b = 1, bolganda,
chiziqli xol uchun yuqoridagi VKB yechimga ega bolamiz.
Shunday qilib, (1) tenglamaning m = 0 dagi taqribiy xususiy yechimidan uning umumiy xossalarini qamrab olgan VKB-yechimga otadi. Yani, etarlicha keng sinf g(x) uchun da tenglamaning haqiqiy yechimi uning WKB yechimlariga to'g'ri keladi.
Endi (1) tenglamaning WKB yechimlari ko'rinishidagi asimptotikalarini o'rganamiz:
(4)
bu yerda ,
.
(4) tenglama yechimi asimptotikasining Xardi forma VKB yechimi korinishi [3,4,6] dan olingan.
(4) tenglama yechimining asimptotikasini o'rnatishga kirishishdan oldin, differensial tenglamalar sistemasini koramiz:
(5)
Ushbu funksiyalarda
,
, uzluksiz funksiya esa quyidagi sohada uzluksiz:
Yana bir taxminga kora, (i = l,2) funksiya Lipshits shartini qanoatlantiradi:
Bu yerda, va D sohaga tegishli ixtiyoriy nuqtalar, .
Emden-Fauler tenglamasi va uni umumlashtirishga juda ko'p ishlar bag'ishlangan bo'lib, ularning asosiy maqsadi yechimlarning sifat xususiyatlarini o'rganish va ularning asimptotik harakatlarini o'rganishdir. a, k parametrlarining turli qiymatlari uchun (2) tenglama yechimlarining uzluksizligi yoki davom etmasligi, tebranish harakati, asimptotik harakati masalalari R.Wellman, J.Saneon, F.Hartman monografiyalarida batafsil tavsiflangan. Differensial tenglamalarning sifat nazariyasidagi muhim masala tebranish yechimlari masalasidir. Tebranish nazariyasining fundamental tadqiqotlari A.Kneser, F.Atkinson, Kurtsveyl,
Z.Nexari, JSW, Van, P.Uoltman va boshqalarning tadqiqotlaridir.
Tartibli Emden-Fauler tipidagi tenglama yechimlarining sifat va asimptotik xossalari keltirilgan.
T. Kiguradze - biz ikkinchi tartibli EmdenFauler tipidagi tenglamaning barcha maksimal kengaytirilgan yechimlarining asimptotik tasnifini olamiz.
Xususan, T. Kiguradze uzluksiz manfiy funksiya p(x) uchun har qanday oldindan tayinlangan vertikal asimptotaga ega yechim mavjudligini va vertikal asimptotaga ega barcha yechimlar quvvat asimptotikasiga ega ekanligini isbotladi.
A. Kondratiyev va Nikishkin, Mualliflar muntazam nochiziqli k > 1 va p (x) < 0 bo'lgan taqdirda tenglamaning musbat yechimlarining to'liq asimptotik tasnifini oldilar. p(x) funksiyasi qabul qilinadi. analitik bo'lish, bu mualliflarga asimptotikaning ixtiyoriy soniga ega tasnifni olish imkonini beradi;
M, Naito (3) tenglamaning integral koeffitsienti p(x) > 0 bo'lgan yechimlarning asimptotik harakatini o'rgangan. cheksizlikda.Bu ishda juft tartibli (1) n - tenglama uchun uzluksiz musbat p = p(x funksiyasi) oraliqda berilgan sonli nolga ega yechimlar mavjudligi haqidagi masala o rganiladi. ) ko'rib chiqilayotgan interval bo'yicha. T, Kusano, M, Naito, J, Manojlovie muntazam oʻzgaruvchanlik nuqtai nazaridan k > 1 boʻlganda va p(x) uzluksiz integrallanuvchi musbat funksiya degan faraz boʻlsa, (3) tenglama yechimlari mavjudligi uchun yetarli shart-sharoit olinadi.. Muntazam oʻzgaruvchanlik nazariyasini qoʻllash imkon beradi. Muntazam o'zgarishlarga ega bo'lgan eritmalarning aniq asimptotik harakatini aniqlash uchun mualliflar, T.Kusano, J.Manojlovie (3) tenglamaning quyidagi umumlashtirilishi hisobga olinadi: