Mustaqil ishi

SURXONDARYO VILOYATI
DENOV TUMANIDAGI
DENOV TADBIRKORLIK VA PEDAGOGIKA
INSTITUTI
“BOSHLANG’ICH TA’LIM VA SPORT” YO’NALISHI III-КУРС 307 –GURUH TALABASI
ALIMOVA XOSIYATНИНГ
MATEMATIKA FANIDAN TAYYORLAGAN

MUSTAQIL ISHI

Reja:

1.Algebra fanining vujudga kelishi.

2.Algebra faning rivojlanishi

3.Al.Xorazmiy. Algebraning boshlanishi

Algebra (arab. الجبر "Al-Jabr") — matematikaning bir sohasi. Algebraning asosiy masalasi - toʻplamlarda kiritilgan matematik amallarni oʻrganish. Shunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amallarga oʻxshamaydi (mas., oʻrin almashtirish yoki assotsiativlik qonuniga boʻysunmaydigan amallar mavjud). Arifmetikadan tayin sonlar ustida birinchi toʻrt amal oʻrganiladi. Algebrada esa bu amallarning har qanday son va son boʻlmagan boshqa matematik ob'ektlar uchun oʻrinli umumiy xossalari tekshiriladi. Bunday hosil qilinadigan natijalarning umumiy boʻlishiga erishish uchun miqdorlarning qiymatlari harflar bilan belgilaninib, harfiy ifodalar ustida bajariladigan amallarning qoida va qonunlari koʻrsatiladi, ifodalar shaklini oʻzgartirish va tenglamalarni yechish qoidalari oʻrganiladi.

Etimologiya

Algebra (arab.— al-Jabr) - mat,ning bir sohasi. Buyuk olim Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy "Al-jabr val-muqobala" asarida dunyoda birinchi marta algebrani izchil bayon qilgan. Asar lotin tiliga tarjima qilinib, "Algebra" nomi bilan jahonga tarqalgan. Algebra tiklashni, ya’ni manfiyhadlarni tenglamaning ikkinchi tomoniga o‘tkazishni, val-muqobala esa tenglamaning ikkala tomonidan teng hadlarni tashlab yuborishni bildiradi. Algebraning asosiy masalasi — to‘plamlarda kiritilgan matematik amallarni o‘rganish. Shunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amal-larga o‘xshamaydi (mas, o‘rin almashti-rish yoki assotsiativlik qonuniga bo‘ysunmaydigan amallar mavjud). Arif-metikada tayin sonlar ustida birinchi to‘rt amal o‘rganiladi. Algebrada esa bu amal-larning har qanday son va son bo‘lmagan boshqa matematik ob’ektlar uchun o‘rinli umumiy xossalari tekshiriladi. Bunda hosil qilinadigan natijalarning umu-miy bo‘lishiga erishish uchun miqdorlarning qiymatlari harflar bilan belgilanib, harfiy ifodalar ustida ba-jariladigan amallarning qoida va 302qonunlari ko‘rsatiladi, ifodalar sha-klini o‘zgartirish va tenglamalarni yechish qoidalari o‘rganiladi. Umar Xao‘yom Algebrani tenglamalar yechish haqidagi fan deb ta’riflagan edi. Uning bu ta’rifi 18-a. oxirigacha kuchini saqlab keldi. Bundan keyingi davrda Algebra yangi yo‘nalishlar bilan kengaytirildi, ammo amallar haqidagi umumiy fan sifatida o‘z ahamiyatini saqlab ham kolli. Qad. misrliklar ancha murakkab ma-salalarni yechganlar (arif-metik va geometrik progressiyalarga doir masalalar). Masalalarning ta’ri-fi, ularning yechilishi og‘zaki so‘z 6-n faqat sonli misollar uchun berilar edi. Bu misollar shakl jihatidan 1-va 2-da-rajali teiglamalarni yechishda umumiy usullarning to‘planayotganligidan darak beradi. Yunoniston geometriyasi alohida ajralib turardi. Bu yerda geometrik tek-shirishlar mantiq tomonidan shunday yo‘lga qo‘yilgan ediki, unda har bir ay-tilgan fikr isbotsiz qoldirilmas edi. Geometrik mulohazalarning kuchli ta’-siri natijasida arifmetika va Algebra masa-lalari geom. tili bilan bayon etilardi. Mas, miqdorni uzunlik deb, ikki miqdor ko‘paytmasini to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi deb qaralardi. Hozirgi zamon matematikasida miqdorning o‘z-o‘ziga ko‘paytmasini "kva-drat" deb atash geometrik tilning hozirgacha saqlanib kelishidan namuna-dir. Yunonlar erishgan natijalarni to‘ldirish, umumlashtirish va taraqqiy ettirishda Turkiston matematiklari katta hissa qo‘shdilar. Ildizlarni hisoblash, bir qator tenglamalarni taqribiy yechish usullari, Nyuton bino-mi umumiy formulasining so‘z bilan ta’-riflangan ifodasini berish Turkiston matematik olimlari tomonidan muvaffaqiyatli hal qilingan. 9— 10-a.larda Turkiston yirik ilmiy markazga aylanadi. Bu davrda al-Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniylar yashagan va fan sohasida o‘zlarining yirik ilmiy ishla-ri bilan dunyoga nom taratgan edilar. 1074 yilda Umar Xayyomning "al-Jabr" degan boshqa bir kitobida chiziqli va kvadrat tenglamalarni yechish, uchinchi darajali tenglamalar ildizlarini geometrik usul bilan izlash va boshqa juda ko‘p masalalar-ni yechish yo‘llari ko‘rsatilgan. Ibn Sino asarlarida ham o‘sha zamon uchun alohida ahamiyatga ega bo‘lgan arifmetika va Algebra masalalarining yechimlari berilgan. Uning matematikaga, xususan, Algebra va arifmetika-ga oid ishlarida sonlarni kvadrat va kubga ko‘tarish amallari tekshirilgan. Qad. dunyo tarixidan to al-Xorazmiy dav-riga qadar matematika Algebra va arifmetika kabi bilimlarga ajralgan emas edi. Faqat al-Xorazmiy davridan boshlab Algebra matematikaning alohida bo‘limi bo‘lib ajraldi. 15-a.da Samarqandda mashhur Ulug‘bek rasadxonasining tashki l topi-shi astronomiyaning taraqqiy etishi bilan bir qatorda matematikaning rivojlanishiga ham sabab bo‘ldi. Algebraning taraqqiyoti uchun amallarni so‘z bilan ifoda etishdan ko‘ra ular o‘rniga qulay belgilar topib ishla-tish zarur edi. Bu ish juda sekinlik bilan bordi: qad. misrliklar kasr uchun alohida belgi ishlatishgan. Diofant i harfini tenglik belgisi uchun (yun. isos — teng) ishlatgan. Italyan olimlari plyus va minus so‘zlari o‘rnida ustiga alohida chiziq chizilgan va t harflarini ishlatishgan. 15-a. oxiriga kelgandagina hozirgi = va — ishoralari kiritilgan. Bun-dan keyingi davrda masalada qatnashadigan miqdorlar, shuningdek no-ma’lumlar harflar bilan belgilanadigan bo‘ldi. 16-a. o‘rtalarida hozirgi zamon alge-brasidagi timsollar to‘la takomillash-tirildi. Algebrada bunday to‘la timsollarga o‘tishga qadar biror umumiy qoida yoki isbotni tushuntirish, biror umumiy fikrni ta’riflash mumkin emas edi. 16-a.da noma’lum miqdorlar uchun unli A, Ye,... harflari, ma’lum miqdorlar uchun esa unsiz V, S, D,... harflari ishla-tilib, o‘sha vaqtda kiritilgan matematik amallar bilan bog‘landi. Shunday qilib, hozirgi zamon Algebrasi uchun xos bo‘lgan harfiy formulalar birinchi martaba paydo bo‘ldi. Har qanday tayin son o‘rniga tim-soliy belgilarning kiritilishi, har-303flardan arifmetika amallarini yechishda foydalanilishi juda katta ahamiyatga ega edi. Bu bilan formulalar tili bo‘lgan matematik vosita hosil qilindi. Shu vo-sitasiz 17-a.da oliy matematikaning yorqin taraqqiyoti, cheksiz kichik miqdorlar tahlili, fizika, mexanika va texnika fanlaridagi qonunlarning matematik ifodalarini berish masalalarini xayol-ga keltirish ham mumkin emas edi. 17-a.da Dekartning analitik geometriya tu-zishda tutgan yo‘li Algebrada paydo bo‘layotgan man-fiy son tushunchasini geometrik tasvirlash bilan birga, manfiy sonlar-ning fandagi o‘rnini mustahkamladi. Noma’lum sonlar uchun x,y,z harflarini ishlatish Dekartdan boshlangan bo‘lib, hozir ham shunday qilinadi. Analitik geometriyaning maydonga kelishi Algebraning katta yutug‘i bo‘ldi. Agar yunonlar Algebra ma-salalarini geom. tilida tahlil qilgan bo‘lsalar, endi, aksincha, geom. masalala-ri Algebra formulalariga ko‘chiriladigan bo‘lib koldi. 17-a. oxiri — 18-a. boshla-rida ishlab chiqaruvchi kuchlarning taraqqiyoti, texnika va tabiiy fanlar-ning matematika oldiga qo‘ygan talablari muno-sabati bilan differensial va integral hisob vujudga keldi va taraqqiy eta boshladi. Bunga Algebraning bosib o‘tgan tari-xiy taraqqiyoti ham zamin tayyorlab ber-gan edi. Bu davrda Algebra bilan matematik tahlil bir-biri bilan jips munosabatda taraqqiy qilardi. Algebraga funksional bog‘lanish masalalari kira boshladi. Tahlil esa Algebraning boy formulalari to‘plamidan foydalana bordi. 18—19-a.larda Algebra taxlildan farq qilib, diskret va chekli miqdorlar bilan ish ko‘rardi: bu davrda Algebra asosan ko‘phadlar bilan shug‘ullanardi. 2-darajali tenglamalar-ni yechish munosabati bilan Algebrada irratsio-nal va kompleks sonlarning fanga kiri-tilishi uchun ehtiyoj tug‘iladi. Bu son-larning kiritilishi bilan 18-a.da Algebra hozirgi zamon o‘rta maktabida o‘tilayotgan Algebra hajmiga yaqin kelgan edi. Harfiy belgi-lardan foydalanib turli sonlar tizim-larining umumiy xossalarini hamda tenglamalar vositasi bilan yechishning umu-miy metodlarini urganadigan Algebra klas-sik algebra deb yuritiladi. Klassik Algebrada kv. tenglamani yechish qad. dunyodan ma’lum, ammo uchinchi va to‘rtinchi dara-jali tenglamalarni yechish formulalari-ni esa faqat 16-a.da italyan matemati-klari Kardano, Tartalya va Fer-rari yaratib berdi. Bu formulalar tenglama ildizlarini uning koef-fitsiyentlari orqali ratsional amallar bilan radikal-larda ifoda etadi. Da-rajasi 4 dan yuqori tenglamalar ildizlarini ham shu yo‘sinda ifodalash masalasi ko‘p vaqn olimlar diqqatini o‘ziga jal b qilib keldi. Oradan 300 i. o‘tgach, 19-a.da Abel hamda Galua darajasi 4 dan yuqori alge-braik tenglamalar ildizlarini koeffi-siyentlari orqali ratsional amallar bilan radikal ko‘rinishida ifoda etish mum-kin emasligini isbot kildilar (q. Galua nazariyasi). Galua har bir tenglama bilan uning ildizlarini almashtirish guruhini beradi va tenglamani tekshi-rishni bu guruhni tekshirishga keltira-di. Algebraik tenglamalar ildizlari-ning soni va ularning qaysi sohaga te-gishli bo‘lishi masalalari ham ko‘p vaqtdan beri olimlarning diqqat marka-zida turgan masalalardandir. D’Alamber va Gauss kompleks koeffitsiyentli har qanday pdarajali tenglama p ta kom-pleks ildizga ega ekanligini isbotladi-lar (q. Oliy algebraning asosiy teore-masi). 19-a. boshlarida mavhum sonlar-ning tabiatini o‘rganish tufayli mate-matik amal tushunchasi kengaya boshladi. Ingliz matematiklari birinchi bo‘lib matematik amalning mavhum tushunchasi-ga keldilar va bu tushunchani yangi mate-matik obektlarga tatbiq qilish bilan Algebra sohasini kengaytir-dilar. Bu davrda vektorlar, kvaternionlar, gaperkom-pleks tizimlar, matritsalar algebrasi, assotsiativ bo‘lmagan algebralar va alge-braik geometriya tashkil topdi va rivoj-landi, yangi algebraik ob’ektlar, chunon-chi xalqa, maydonlar paydo buddi. Bular 19-a. 1-yarmidagi Algebrani jonlantirdi. O‘sha 304vaqtgacha Algebra metodlari va natijalari Algebraning markaziy muammosi hisoblangan algebraik tenglamalarni yechishdan ibo-rat edi. 1850 yildan keyin esa ahvol o‘zgardi, yangi izlanishlar borgan sari hozirgi kunda algeb-raning asosiy muammo-si hisoblangan matematika amallarni o‘rganishdan iborat bo‘la bordi. 19-a. 2-yarmida algebraik sonlar, invariant-lar va guruhlar nazariyasi vujudga kel-di. 20-a.da algebra matematikaning turli sohalariga, nazariy fizika, kimyo, biol., genetika kabi boshqa fanlarga ham jadal kirib keldi, ya’ni matematika va boshqa ko‘pgina sohalarni algebralashtirish jarayoni ro‘yobga keldi. Ayni paytda Algebra va matematikaning turli sohalari chegarasida matematikaning yangi yo‘nalishlari, chunonchi Algebra va funksional analiz o‘rtasida Banax Algebralari:, operatorlar Alari nazariyasi, Algebra bilan topologiya o‘rtasida gomologak Algebra va h.k. paydo bo‘ldi. Algebra fanining rivojla-nishiga bir qancha o‘zbek olimlari, chu-nonchi: T. Sarimsoqov, Sh. Ayupov, J. Hojiyev va boshqa o‘z hissalarini qo‘shdilar. Algebra ehgimollar nazariyasi, topologiyaga oid topologik yarim maydonlar va umu-man tartiblangan Algebralar nazariyasini bi-rinchi marta O‘zbekistonda T. Sarimsoqov o‘z shogirdlari bilan yaratdi.Shavkat Ayupov.^[1]

Buyuk olim Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy "Al-jabr val-muqobala" asarida dunyoda birinchi marta algebrani izchil bayon qilgan. Asar lotin tiliga tarjima qilinib, "Algebra" nomi bilan jahonga tarqatilgan.

Al Xorazmiy

Hayoti

Abu Ja'far Muhammad in Muso al-Xorazmiy - dunyo ilm faniga mislsiz ulkan hissa qo‘shgan alloma, Algebra fani va Algoritm terminlarining “otasi”, buyuk matematik, tarixchi, falakkiyotshunos, geograf sifatida butun dunyoga mashhur. Buyuk alloma vatandoshimizning shaxsiy hayoti haqidagi ma'lumotlar nihoyatda kam miqdorda saqlanib qolgan.

Manbalarda ko‘rsatilishicha Al Xorazmiy 783 yilda Xorazmda tavallud topgan. Bu davr musulmon sharqida ilmiy uyg‘onish, ilm fanning gurkirab rivojlanayotgan davri bo‘lib, al-Xorazmiy Movarounnahr va Xorazmdagi o‘z zamonasining yetuk olimlaridan ilm tahsil qiladi. U qadimgi hind va yunon ilm fani bilan mukammal tanishib, ular asosida va o‘z ilmiy tadqiqotlari bo‘yicha risolalar yozishni Xorazmdaligida boshlagani ma'lum.

 

819 yilda esa u xalifalik poytaxti - Bog‘dodga yetuk alloma sifatida kelgan, va xalifa al-Ma'mun (813-873) tomonidan tashkillangan "Baytul-Hikma" ya'ni "Donishmandlar uyi" ga rahbarlik (!) qilgan. Shuningdek u xalifaning saroydagi ishonchli kishilaridan biri, maslahatchisi bo‘lganligi qayd qilingan. Xalifa Ma'mun, hali taxtga o‘tirmagan vaqtda (ya'ni valiaxdlik vaqtida ) xalifalikning sharqiy hududlarida xalifa noibi bo‘lib xizmat qilgan va o‘sha davrda al-Xorazmiy bilan yaqindan tanishib, uning ilmiy salohiyatini to‘g‘ri baholagani va uni Bog‘dod yaqinidagi Qatrabula shahriga joylashtirganligi tarixiy manbalarda keltiriladi. Al-Xorazmiy ham o‘z navbatida halifa Ma'munning ilm fanga qaratgan diqqat e'tiborini yuqori baholab, u haqida "ilmga muhabbati va olimlarni o‘z atrofiga yig‘ishi, ularni o‘zining davlandtmandlik qudrati qanotlari bilan himoyalab, ular uchun mushkul bo‘lgan (muammo)larning oson hal bo‘lishiga va ular uchun tushunarsiz bo‘lgan (hodisalar)ning tushunarli bo‘lishiga doimo yordam beruvchi odil hukmdor sifatida ta'riflaydi.

"Baytul-Hikma" - o‘ziga xos sharqona akademiya bo‘lib, Ma'mun "Baytul-Hikma"sida o‘z davrining eng yetuk tafakkur egalari, xalifalikning barcha yerlaridagi olim va fozillar aynan "Baytul-Hikma"da yig‘ilib, hamjihatlikda ish olib borishar edi. Bu akademiyada nihoyatda ulkan va boy ilmiy me'rosga ega bo‘lgan kutubxona, astronomik tadqiqotlar uchun qulay rasadxona va qadimgi yunon ilm faniga doir ko‘plab qo‘lyozmalarning tarjimalari bilan shug‘ullanuvchi tarjimonlar va xattotlar ish olib borardi. Aynan shu davrda, Ma'mun "Baytul-Hikma"sida al-Farg‘oniy, Ibn Turk, al-Kindi kabi ko‘plab buyuk olim va faylasuflar ish olib borishgan. Halifa Ma'munning shaxsan topshirig‘iga ko‘ra, al-Xorazmiy yer shari o‘lchamlari - hajmi va uzunligini o‘lchovchi asbob yasash ustida ish olib boradi. 827-yilda u boshchiligidagi ilmiy guruh, Sinjor cho‘lida yer shari meridianining yoy uzunligini o‘lchash ishlarini olib boradi. Sinjor cho‘lida al-Xorazmiy boshchiligidagi guruh qayd etgan meridian yoyi uzunligi, keyingi 700 yil davomida aniqligi bo‘yicha eng nodir natija bo‘lib qoldi va barcha ilmiy qo‘llanmalar uchun dasturul-amal bo‘lib xizmat qildi. Bu esa ulug‘ vatandoshimizning Geodeziya sohasida ham muhim ilmiy salohiyatidan darak beradi.

Taxminan 830-yilda al-Xorazmiy halifa Ma'munga bag‘ishlangan ikkita asar yozadi, ulardan biri Algebra haqida bo‘lganligi ma'lum. 842-yilda halifa bo‘lgan al-Vasaq esa uni Hazar ekspeditsiyasiga boshliq qilib tayinlagani qayd etiladi. U haqidagi so‘nggi ma'lumot esa, 847-yilga tegishli bo‘lib, unda halifa al-Vasaqning vafot etgani va uning dafn marosimida yig‘ilgan e'tiborli shaxslar orasida al-Xorazmiy ham tilga olinadi. Ma'lumot aniq bo‘lmasa-da, al-Xorazmiyning vafotini 850-yil deb qabul qilingan.

Ilmiy salohiyati va asarlari.

Al-Xorazmiy birinchi navbatda buyuk matematik sifatida namoyon bo‘ladi. U o‘zigacha butun sharq ilm fani to‘plagan matematik bilimlarni umumlashtirib, ularni o‘zining natijalari bilan boyitib bordi va fanda mutlaqo yangi soha -Algebraga asos soldi. Al-Xorazmiygacha bo‘lgan davrda faqat eng soda algebraik tenglamalargina o‘rganilar, masalalarni alohida tenglamalar sifatida qaralar va ular orasidagi qonuniyatlar nazardan chetda qolar edi. Al-Xorazmiy esa, tarixda ilm bora har qanday chiziqli va kvadrat tenglamalar uchun tadbiq etish mumkin bo‘lgan algebraik usullarni va formulalarni ishlab chiqdi, ularni tasnifladi va aniq ta'riflarini keltirdi. Aynan al-Xorazmiydan boshlab matematikada ramziy harfiy ifodalashlar joriy etildi va uning mutlaqo yangi sohasi - Algebra mustaqil fan sifatida ajralib chiqdi. Uning asarlari keyingi davrlarda yevropada lotin tiliga o‘girildi va uyg‘onish davri yevropa ilm fani rivojiga ulkan ta'sir o‘tkazdi. o‘rta asr yevropasi ilm maskanlarida al-Xorazmiyning risola va kitoblari asosiy matematik darslik sifatida o‘qitildi, Mashhur fan tarixchisi Jorj Sarton al-Xorazmiyni "Barcha davrlarning eng buyuk matematigi" deb ataydi va ilm-fanning ommalashtirishda uning xizmatlarini o‘ta yuqori baholaydi. Xorijiy ushbu tarixchining xolisona bahosidan ham ko‘rinib turibdiki, al-Xorazmiy va uning asarlari dunyo tamadduni tarixida eng muhim o‘rin tutuvchi ilmiy manbalardandir.

Al-Xorazmiy o‘z davri uchun eng aniq hisob kitoblarga ega trigonometrik jadvallar ishlab chiqdi. Ushbu jadvallarda sinusning muhim funksiyalari aniq bayon qilingan risolalar va o‘quvchi uchun muhim ko‘rsatmalardan iborat izohlar, formulalar bayon qilinadi. Al-Xorazmiyning trigonometrik jadvali va risolalari asosida XII-XII asrlarda "Carmen de Algorismo и Algorismus vulgaris" asari yozildi va u to XVII asrgacha Yevropaning barcha oliy ta'lim muassasalarida asosiy matematik darslik bo‘lib xizmat qildi. XVI asrga kelib esa, al-Xorazmiyning barcha ilmiy asarlari yevropa tillariga o‘girib bo‘lindi. Ulardan so‘nggisi - "Hind hisobi haqida risola" 1857-yilda knyaz Baldasare Bankompanyi tomonidan chop etilgan "Arifmetika risolasi" ning birinchi qismiga tarjima sifatida kiritildi.

Matematikadan tashqari al-Xorazmiy o‘z davri allomalariga xos ravishda, falakkiyot ilmi -astronomiya bilan ham jiddiy shug‘ullangan. U o‘z astronomik tadqiqotlarida sayyoralar harakati, quyosh va oy tutilishlari sabablari va vaqtlari, yulduzlarning osmon sferasidagi harakatlari, sayyoralarning joylashuv va harakat yo‘nalishlari haqida, o‘z zamonasi uchun mufassal bo‘lgan astronomik jadvallar - Zij lar tuzgan va ularga mufassal sharhlar yozgan. Al-Xorazmiyning ilmi nujum - astronomiya borasidagi asarlarining dastlabki bandlari qadimgi hind astronomlarining natijalarini qayta ishlash va ularni o‘z kuzatishlari asosida mukammallashtirish va boyitishdan iborat bo‘lsa, keyinchalik u o‘zining mutlaqo yangi natijalari bilan astronomiya fanini rivojlanishiga katta hissa qo‘shdi. Al-Xorazmiyning astronomiya bo‘yicha yozgan asar va risolalari ham XII asrda avval yevropada lotin tiliga, keyinroq sharqda Xitoy tiliga tarjima qilingani ma'lum.

Shuningdek buyuk alloma vatandoshimiz, geografiya bilan ham muntazam shug‘ullangan bo‘lib, uning yer meridiani yoyi uzunligini o‘lchash va geodeziya borasidagi tadqiqotlari borasida yuqorida qisqacha bayon etgan edik. Qo‘shimcha qilib shuni ta'kidlash joizki, al-Xorazmiyning geografiyaga bag‘ishlangan "Kitab surat al-Ard" asarida mufassal bayon qilingan. Bu asarda al-Xorazmiy 70 ga yaqin qadimgi yunon, hind va boshqa tamaddunlar geograflarining asarlarini o‘z nuqtai nazaridan tahlil qilib, ularga aniqliklar va tuzatishlar kiritadi. o‘z davri uchun "ma'lum bo‘lgan" (ya'ni inson qadami yetgan) yerlarning geografik, topologik xaritalarini keltiradi va muhim shaharlar, aholi yashash joylari, harbiy istehkomlar va boshqa geografik obyektlar (dengiz, daryo, tog‘, cho‘l va karvon yo‘llari)ning koordinatalarini bayon qiladi. Shuni ta'kidlash kerakki, al-Xorazmiyning "Kitab surat al-Ard" asarida keltirgan yer xaritasi ungacha foydalanib kelingan Ptolomey xaritasidan ko‘ra ancha mukammal va aniq bo‘lsa ham, negadir noma'lum sabablarga ko‘ra keyingi davrda bu xaritalar ommalashmadi.

Umuman hisoblaganda al-Xorazmiyning ilm faning turli sohalarini qamrab olgan quyidagi 9 ta ilmiy asari fanga ma'lum :

1. 
   Kitab Muxtasab Al jabr val-muqobala. ("Tiklash va qarama qarshi qo‘yish haqida muxtasar kitob")
   
2. 
   Zij. (astronomik jadvallar)
   
3. 
   Usturlob yasash kitobi.
   
4. 
   Hind hisobi haqida kitob
   
5. 
   Yer surati haqida kitob. ("Kitab surat al-Ard")
   
6. 
   Usturlob yordamida qilinadigan harakatlar haqida kitob
   
7. 
   Quyosh soatlari haqida kitob.
   
8. 
   Yaxudiylar yil hisobi va ularning bayramlarini aniqlash haqida kitob.
   
9. 
   Tarix kitobi.
   

Afsuski, ulardan faqat 7 tasi bizgacha al-Xorazmiyning o‘z qo‘lyozmasi, yoki lotin tilidagi tarjimasi shaklida bizgacha yetib kelgan. Ikkitasi - "Usturlob yasash kitobi" va "Usturlob yordamida qilinadigan harakatlar haqida kitob" lar esa boshqa mualliflar, xususan al-Farg‘oniy asarlarida, al-Xorazmiydan iqtibos keltirilgan o‘rinlarda tilga olinganligi uchun nomi ma'lum bo‘lib, asarning o‘zi saqlanib qolmagan.

Ulardan ba'zilarining qisqacha mohiyati bilan tanishamiz:

Ziji al-Xorazmiy. Astronomik jadvallardan iborat Zij asari o‘sha davrning amaliy ehtiyojlarida kelib chiqib o‘ta muhim asar va amaliy qo‘llanma bo‘lganligini e'tirof etish joiz. Qadimgi davrlarda dehqonchilik va yerga ishlov berish ishlari, dengizga chiqish va savdo karvonlarining yo‘lga chiqish vaqtlari, mazkur turdagi amaliy qo‘llanmalarsiz mavjud bo‘la olmas edi. IX asrga kelib mashriqda, arab tilidagi ilk Zij -astronomik jadvallari paydo bo‘ldi. Bu zijlarda asosan quyosh va oy tutilishlari davriyligi, osmon jismlarining holati va harakat o‘zgarishlarini aniqlash mumkin edi. Ma'mun "Baytul hikma" si olimlari ham astronomik tadqiqotlar borasida jiddiy shug‘ullanishardi. Sohaning amaliy ahamiyati, mavjud bilimlarni mukammallashtirish va boyitishni taqozo qilganligi bois, al-Xorazmiy o‘zidan avvalgi astronomlarning natijalarini qayta ishlab, o‘z kuzatishlari asosida tuzatishlar va aniqliklar kiritish bilan o‘zining yangi

"Ziji al-Xorazmiy" jadvallarini tuzib chiqqan. Xususan u o‘z Zijida qadimgi hind astronomi Braxmaguptaning "Braxmagupxuta Siddxanti", Forslarning Yezdigerd erasi davri boshlanishi va Yahudiylarning erasining hisoblash nazariyasini tahliliy bayon qiladi. Kitob turli xil taqvimlarni tahlil qilish bilan boshlanadi. Unda har xil taqvimlarning qo‘llanish sohalari, ularni bir biriga o‘girish qoidalari va aniq sanalarni belgilash borasida ulardan foydalanish yo‘l yo‘riqlari ko‘rib chiqiladi. U turli xalqlarda tarixan har xil boshlang‘ich sanaga ega bo‘lgan eralarni mufassal bayon qilib o‘tib, ularni o‘zaro taqqoslaydi va islom taqvimi (hijriy yil hisobi)ga keltirish qoidalarini bayon qiladi. U Islom erasi (622 - milodiy yildan boshlab), Hindiston erasi (er.avv. 3101 yildan boshlab) va Iskandar erasi (er.avv. 1-oktyabr 312-yildan boshlab) larning o‘zaro qiyosiy jadvallarini keltiradi. Al-Xorazmiy hisoblari bo‘yicha Islom yil hisobi 622-yil 16-iyuldan boshlanadi.

 

Hind hisobi haqida kitob. Ushbu kitobning dunyo ilm fani tarixidagi tutgan o‘rniga mutloq baho berish mushkul. Sababi, aynan ushbu asr qadimgi dunyo matematiklarining eng muhim muammolari - sanoq tizimlaridagi chalkashliklar, noqulayliklar va raqamlash tizimining o‘tkir kamchiliklarini bartaraf etgan, zamonaviy sanoq va raqamlash tizimiga asos solgan buyuk ilmiy manba hisoblanadi. Aynan "Hind hisobi haqidagi kitob" tufayli, o‘nlik sanoq tizimining qulayliklari va hind raqamlash tizimining afzalliklari fanga aniq-tiniq ma'lum bo‘ldi. Hind hisobida sonlar 1 dan 9 gacha bo‘lib, hind hisob tizimida manfiy sonlar va nol umuman matematik tushuncha sifatida mavjud bo‘lmagan. Al-Xorazmiyning matematika oldidagi yan bir buyuk xizmati shu ediki, u fan tarixida ilk marotaba Nol sonini arifmetik va algebraik amallarga tatbiq etdi, ya'ni Xorazmiy nol sonini fanga kiritdi! Ungacha bo‘lgan barcha matematik ilmiy asarlarda sanoq boshi birdan boshlanar va nol soni haqida tushunchalar qayd etilmas edi. Kitob qo‘lyozmasi ilmiy ommaga tarqalishi bilan u xalifalik bo‘ylab juda tez va ko‘plab nusxalarda, Movarounnahrdan to Andalusiyagacha bo‘lgan ulkan hududda shiddat bilan ommalashdi va uni madrasa va ilmiy muassasalarda darslik sifatida o‘qitila boshlandi. "Hind hisobi haqida" asarida bayon etilgan hind raqamlarining hisoblashlardagi qulayligi tezda butun ilm ommasiga ma'lum bo‘ldi va u keyingi davr yevropa faniga "arab raqamlari" sifatida kiritildi. "Arab raqamlari" haqidagi dastlabki ma'lumot 1200 yilga oid bo‘lib, unda italyan savdogarlarining mazkur raqamlardan foydalanib yuritgan hisob-kitoblari aks etadi. 1299-yilda esa Florensiyada "arab raqamlaridan foydalanishni ta'qiqlash" to‘g‘risidagi qonun qabul qilingani ham tarixiy manbalarda mavjud. Bu qonunga nima sabab bo‘lganligi aniq emas, balki, kibor italyan sinyorlari o‘z mahalliy raqamlari foydasiga mazkur qonunga imzo chekishgandir, lekin baribir "arab raqamlari"ning amaliy afzalliklari o‘rta asr feodal qonunchiligidan ustun keldi. XVI-asrga kelib butun madaniylashgan tamaddun "arab raqamlari"ga deyarli o‘tib bo‘ldi. Al-Xorazmiyning "Hind hisobi haqida" asari "Algoritmi de numero Indorum" nomi bilan XII-asrda lotin tiliga tarjima qilingan. Mazkur kitobning ham arab tilidagi matni yo‘q bo‘lib ketgan, lotin tilidagisi esa saqlanib qolgan.

 

Yer surati haqida kitob. "Kitab surat al-Ard" - Arab tilidagi geografiyaga bag‘ishlangan birinchi asar bo‘lib, unda Geodeziyaga oid mulohazalar ham keng o‘rin tutgan. Ushbu asarda al-Xorazmiy 2402 ta aholi yashash joylarini, shuningdek, tabiiy obyektlarni bir nechtasini aniq koordinatalar asosida xarita - tasvirini keltirgan. U shuningdek Geografik masallarni hal etishda matematik yechimlarni kiritish usullarini bayon qilib, topologik hisoblashlar va joy koordinatalarini aniqlash usullarini matematik jihatdan asoslab beradi. Yuqorida ta'kidlanganidek, mazkur asarida al-Xorazmiy Ptolomey va boshqa geograflarning asarlariga aniqliklar va tuzatishlar kiritadi. Uning tuzgan xaritasi Ptolomey xaritasiga nisbatan, aniqroq bo‘lganligi tarixiy faktdir.

U mazkur asarni mukammallashtirish maqsadida Hazar, Xuroson, va Vizant yerlariga ekspeditsiyalar uyushtiradi, joyning geografik (sharqiy, g‘arbiy) uzunligi va kengligi (shimoliy va janubiy) tushunchalariga ta'riflar va tushuntirishlar keltiradi.

Al Jabr val-Muqobala.

Al-Xorazmiy, yuqorida qayd etganimizdek, dunyoga birinchi navbatda o‘zining - "Kitab Muxtasab Al jabr val-muqobala" ("Tiklash va qarama qarshi qo‘yish haqida muxtasar kitob") asari bilan mashhur. Asar nomining so‘zma-so‘z ma'nosi shundan iborat: "Al-Jabr" - tiklash va "val-Muqobala" -qarama qarshi qo‘yish. Bularning al-Xorazmiy asaridagi tom ma'nosi va mohiyati, asarda tahlil qilingan chiziqli va ikkinchi darajali tenglamalarni yechish jarayonida, tarixda ilk marotaba al-Xorazmiy tomonidan qo‘llanilgan usul- tenglamaning ma'lum va noma'lum hadlarini guruhlash, ya'ni tenglikning o‘ng tarafiga ma'lum qiymatlarni, chap tarafiga esa noma'lumlarni tartiblash - "Tiklash", ularni o‘zaro matematik amallar yordamida soddalashtirish , qisqartirish va yechish - "Qarama qarshi qo‘yish" deb atalganligidir. Ushbu asar nomidagi "Al-Jabr" so‘zidan keyinchalik talaffuzdagi o‘zgarishlar (Yevropa tillari tufayli) "Algebra" so‘zi paydo bo‘ldi.

Mazkur asarning asl qo‘lyozma matni yo‘q bo‘lib ketgan, ammo uning 1140-yilda ingliz matematigi Robert Chesterski tomonidan tarjima qilingan lotin tilidagi nusxasi saqlanib qolgan. Bu asar nomi "Book Algebra and almukabala" bo‘lib, hozirda Kembridjda saqlanadi. Shuningdek, "Al jabr val-muqobala" ning ispaniyalik yahudiy Ioann Sevilskiy tomonidan o‘girilgan tarjima nusxasi ham mavjud bo‘lib, uni mazkur muallif o‘zining "Boshlang‘ich arifmetika" asarining birinchi qismiga kiritgan.

Kitob mantiqan ikki qismga bo‘lib tasnif qilingan: Nazariy va Amaliy qismlar.

Nazariy qismda al-Xorazmiy birinchi va ikkinchi darajali tenglamalarning yechish muammolari, ularning ma'lum qoida va belgilari bo‘yicha tasniflash (klassifikatsiya) borasida so‘z yuritadi va aniq misollar yordamida mazkur turdagi tenglamalarning yechish usullarini keltiradi.

Al-Xorazmiy tenglamalarni quyidagi sinflarga bo‘lib o‘rganishni tavsiya etadi:

1) Kvadratlar ildizlarga teng, misol 5x²=10;

2) Kvadratlar songa teng; masalan, 5x²=80;

3) Ildizlar songa teng; masalan, 4x=20;

4) Ildizlar ham kvadratlar ham songa teng; masalan, x²+ax+b=c;

5) Kvadratlar va sonlar ildizlarga teng; masalan, x²+21=10x

6) Ildizlar va sonlar kvadratlarga teng; masalan, 3x+4=x²

Al-Xorazmiy "Al jabr val-muqobala" ning bu qismda 40 ta turli murakkablikdagi misollar yordamida

ushbu turlardagi tenglamalarning yechish usullarini batafsil bayon etarkan, shuningdek, ularning isbotini geometrik shakllar yordamida ham yaqqol, ya'ni, amaliy ko‘rsatib boradi. Shuningdek "Al jabr val-muqobala" ning bu qismda geometriyaga oid masalalar, asosan, shakllarning yuzasi va hajmini hisoblashga doir muammolarning yechimlari bayon qilinadi. Xususan, "O‘lchovlar haqida bob" da u turli xil ko‘pyoqlarning yuzini hisoblash usullari va formulalari, aylaning yuzasini aniqlash formulasi va piramidaning hajmini hisoblash formulalarini batafsil mulohazalar yordamida keltirib o‘tadi.

 

Amaliy qismda esa, muallif, "Al jabr val-muqobala"da keltirilgan matematik tenglamalarning amaliy qo‘llash muammolarini ko‘rib chiqadi va mamlakatda sun"iy suv yo‘llari (kanallar) qurish, yer maydonlarini o‘lchash, xo‘jalik va maishiy masalalar, shuningdek "Al jabr val-muqobala"da, shariat qonunlari asosida meros taqsimoti masalalari kabilarga tatbiq etishga misollar va yo‘riqnomalar keltirilgan alohida bob - "Vasiyatlar kitobi" mavjud bo‘lib, bu esa, al-Xorazmiyning musulmon shariati qonun qoidalaridan ham mukammal ilmga ega bo‘lganligi va uning yuksak faqihlik salohiyatidan darak beradi.

Keyingi asrlarda "Al jabr val-muqobala" sharq va g‘arbda ko‘plab matematiklar tomonidan sharhlandi va unga ilovalar bitildi. Xususan, Ibn Turk, Abu Komil, Al-Qaraji kabi matematiklarga sharhlar bag‘ishlashgani ma'lum. Pizalik Leonardo (Fibonachchi) ham o‘z asarlarini al-Xorazmiyning kuchli ta'siri ostida yozgan va umuman olganda "Al jabr val-muqobala" Algebra va tenglamalar nazariyasining keyingi rivojini asoslab unga tamal toshini qo‘yib bergan. Bir so‘z bilan aytganda al-Xorazmiyning "Al jabr val-muqobala" asari bugungi Algebraga asos solgan!

Algoritm. "Al jabr val-muqobala'ning lotin tilidagi tarjimasi "Dixit Algorizmi" deb boshlanadi. Buning ma'nosi "al-Xorazmiy aytadiki..." degani bo‘lib, bu muallifning nomini abadiyatga tarix solnomalarining zarhal sahifalariga joylanishiga ulkan sabablardan biriga aylandi. "Dixit Algorizmi" ning Yevropa tillaridagi talaffuz o‘zgarishlari natijasida, keyinchalik "Algortim" shakliga kelib qoldi va u dastavval o‘nlik sanoq tizimi asosidagi tenglamalarni yechish masalalari uchun tatbiq etilgan bo‘lsa, keyinchalik yevropa ilmiy doiralarida har qanday sanoq tizimidagi hisoblashlarni ma'lum qoidalar asosida amalga oshirish usullarini "Algortim" deb atay boshladilar. Hozirgi kunda esa "Algortim" so‘zi ijro mexanizmining (protsessor, dastur va ho kazolar) qo‘yilgan shart bo‘yicha natijaga erishish uchun bajariladigan amallar miqdoriy ketma-ketligini ifodalovchi atama sifatida, kompyuter va har qanday elektron hisoblash texnikasi, mobil aloqa apparatlari va maishiy texnika asboblaridan tortib, eng murakkab kibernetik loyihalar, kosmik apparatlar va yadro texnologiyalari sohasida keng miqyosda qo‘llanilmoqda.