3.4 - §. Umumlashgan kasr tartibli operator qatnashgan diffuziya tenglamasi uchun 1-chegraviy masala Quyidagi tenglamani
(3.4.1)
sohada tadqiq qilamiz. Bu yerda berilgan funksiya, - umumlashgan tartibli integro-diferensial operator [14], - berilgan funksiya boʻlib, u shartni qanoatlantiradi, ham berilgan funksiya boʻlib, ushbu tadqiqot ishida uni uzluksiz yoki integrallanuvchi maxsuslikka ega boʻlishini talab etamiz.
2-masala: (3.4.1) tenglamaning sohada quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi topilsin:
(3.4.2)
(3.4.3)
bu yerda - berilgan funksiya.
Bu masalani oʻzgaruvchilarni ajratish usuli bilan tadqiq etamiz.
Masalaning yechimini
(3.4.4)
koʻrinishida qidiramiz, bu yerda lar hozircha noma’lum funksiyalar. Berilgan funksiya ni ham yuqoridagi sistema orqali yoyib olamiz:.
(3.4.5)
Bu yerda
(3.4.4) va (3.4.5) ni (3.4.1) ga qoʻyamiz:
. (3.4.6)
(3.4.6) dan esa tenglama kelib chiqadi. (3.4.2) shartdan esa ni olamiz. Bu yerda
Ushbu masalaning yechimi quyidagi koʻrinishga ega:
agar boʻlsa,
agar boʻlsa.
Demak, (3.4.1) – (3.4.3) masalaning yechimi agar boʻlsa,
(3.4.7)
ko’rinishida, agar boʻlsa,
(3.4.8)
ko’rinishga ega boʻladi.
Oxirgi koʻrinishdagi yechimlar cheksiz qator koʻrinishida berilgani uchun bu qatorlarning tekis yaqinlashishini isbotlash talab etiladi. Buning uchun biz berilgan funksiyalarga muayyan shartlarni qoʻyamiz. Masala yechimining yagonaligi esa izlanayotgan funksiya yoyilgan funksiyalar sistemasining toʻla ortonormal Sistema tashkil etishidan kelib chiqadi. Demak, quyidagi tasdiq oʻrinli:
2-teorema. Agar boʻib, shartlarni qanoatlantirsa hamda boʻlsa, masalaning yagona yechimi (3.4.7), boʻlsa, (3.4.8) koʻrinishda ifodalanadi.
