3.2 - §. Umumlashgan Hilfer hosilasi qatnashgan diffuziya tenglamasi uchun umumlashgan boshlangʻich shartli chegaraviy masala Masala. (3.2.1)
tenglamaning sohadagi
(3.2.2)
chegaraviy va
(3.2.3)
umulashgan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvch regulyar yechimi topilsin.
Bu yerda - shunday haqiqiy sonlarki, , f(t,x) esa berilgan funksiya.
Masalaning regulyar yechimi deganda sinfga tegishli, (3.2.1) tenglamani sohada qanoatlantiruvchi yechimini tushinamiz.
(3.2.1) – (3.2.3) masalaning yechimini
(3.2.4)
ko'rinishida qidiramiz, bu yerda lar hozircha noma’lum funksiyalar. Berilgan funksiyani ham qator ko’rinishida yozib olamiz.
bu yerda
(3.2.5)
(3.2.4), (3.2.5) ni (3.2.1) ga qo’ysak t ga nisbatan
(3.2.6)
tenglamani olamiz. (3.2.3) shart esa
(3.2.7)
kelib chiqadi, bu yerda
(3.2.6) – (3.2.7) masalaning yechimi quyidagicha bo’ladi.
(3.2.8)
Bu yerda ,
(3.2.9)
(3.2.8) ni (3.2.9) ga qo’ysak (3.2.1) – (3.2.3) masalani formal yechimini quyidagi ko’rinishda olamiz.
(3.2.10)
Endi (3.2.10) cheksiz qator va , formulalarga mos keluvchi cheksiz qatorlarning tekis yaqinlashishini ko’rsatamiz.
Buning uchun (3.2.9) formulaning quyidagi baxosidan foydalanamiz
, . (3.2.11)
Demak, (3.2.10) dan
Endi bo’lsa, , bo’lishini hisobga olib
, ni olamiz.
Endi
(3.2.12)
Qatorning tekis yaqinlashishini ko’rsatamiz:
Buning uchun
tenglikni hisobga olamiz. U holda (3.2.12) tenglikdan
kelib chiqadi.
Bu yerda
Demak,
shartlar asosida
olinadi, bu esa (3.2.12) qatorning tekis yechimiga ko’ra qatorning tekis yaqinlashishi bevosita tenglamadan foydalanib isbotlash mumkin.
