Hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamalar. Lagranj va klero tenglamalari

_5-MAVZU
HOSILAGA NISBATAN YECHILMAGAN DIFFERENSIAL TENGLAMALAR. LAGRANJ VA KLERO TENGLAMALARI.

Ushbu hosilaga nisbatan yechilmagan
(5.1)
ko‘rinishdagi tenglamalarning yechilish usullari bilan tanishamiz.
Agar hosilaga nisbatan yechilmagan (5.1) tenglama ga nisbatan ikkinchi tartibli bo‘lsa, u holda u ga nisbatan yechiladi va va tenglamalar hosil qilinadi. Tenglamalarning umumiy yechimlari ko‘paytmasi (5.1) tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi:
(5.2)
(5.1) tenglamaning maxsus yechimi esa

tenglamalarning yoki

tenglamalarning yechimidan aniqlanadi.
1-misol. differensial tenglamaning umumiy integralini toping.
►Kvadrat tenglamani ga nisbatan yechib,
,
tenglamalarni aniqlaymiz. Ularning
, .
umumiy integrallarini ko‘paytirib berilgan tenglamaning umumiy integralini hosil qilamiz:
.
Bu tenglikni differensiallab, topamiz va umumiy integral bilan birga yechib, maxsus yechimni olamiz.◄
Agar tenglama x yoki y ga nisbatan sodda yechilsa, ya’ni yoki bo‘lsa, almashtirish yordamida yoki ni tengliklardan birini hosil qilamiz. Bu holda to‘la differensial yoki ni hisoblaymiz va yoki tengliklardan foydalanib parametrik yechimni topamiz. So‘ngra parametrni yo‘qotamiz, natijada, umumiy yechimni olamiz.
2-misol. Ushbu tenglamaning umumiy yechimini toping.
► almashtirish bajaramiz:
,
,
,
.

1. 
   , . Bundan quyidagi parametrik yechimni aniqlaymiz:
   

<sub>Parametr p ni yo‘qotib, umumiy yechimni topamiz:
.
Maxsus yechimni izlaymiz:


.</sub>

2. 
   
   

Bu holda ham yuqoridagi maxsus yechim hosil bo‘ldi.◄
Ushbu
(5.3)
ko‘rinishdagi differensial tenglama Lagranj tenglamasi deb ataladi.
Lagranj tenglamasini almashtirish yordamida x ga nisbatan chiziqli tenglamaga keltiriladi.

Bu yerda yechim alohida aniqlanadi.
3-misol. Ushbu tenglamaning umumiy yechimini toping.
► almashtirish bajaramiz:
.
To‘la differensialini topamiz va tengliklardan foydalanamiz:



Ushbu
(5.4)
ko‘rinishdagi differensial tenglama Klero tenglamasi deb ataladi.
Demak, (5.3) tenglamada deb olsak, (5.4) ni hosil qilamiz.
4-misol. Ushbu tenglamaning umumiy yechimini toping.
► almashtirish bajaramiz:
.
To‘la differensialini topamiz va tengliklardan foydalanamiz:
,
,
.
Chiziqli tenglamani hosil qilamiz va uni yechib,

yechimni olamiz va umumiy yechimni hosil qilamiz:

Maxsus yechimini aniqlash uchun sistemaning ikkinchi tenglamasidan parametr bo‘yicha hosila olamiz:
,

.
Bu yechimni tenglamaga qo‘ysak, qanoatlantirmadi, demak, maxsus yechim mavjud emas ekan.◄


Auditoriya topshiriqlari
Quyidagi differensial tenglamalarni yeching.

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   .
   
4. 
   .
   
5. 
   .
   
6. 
   .
   
7. 
   .
   
8. 
   .
   
9. 
   .
   
10. 
    .