Birinchi tartibli differensial tenglamalar Reja

Birinchi tartibli differensial tenglamalar
Reja
1. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar.
2. Bir jinsli tenlamaga keltiriladigan differensial tenlamalar.
3. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama.


Tayanch so’z va iboralar: bir jinsli differensial tenglama, bir jinsli funksiya, o’lchovli bir jinsli funksiya, birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama, hosilasiga nisbatan chiziqli, differensial tenglamani tartibi, umumiy yechimi, umumiy integrali.


1. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama


1-ta’rif: Agar ning har qanday qiymatida (1) ayniyat to’g’ri bo’lsa, funksiya va o’zgaruvchilarga nisbatan o’lchovli bir jinsli funksiya deyiladi.
1-misol: funksiya bir o’lchovli bir jinsli funksiyadir, chunki bo’ladi.
2-misol: funksiya nol o’lchovli bir jinsli funksiyadir, chunki bo’ladi.
2-ta’rif: Agar birinchi tartibli (2) tenglamada funksiya va ga nisbatan nol o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lsa, (2) tenglama va o’zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli tenglama deyiladi.


2. Bir jinsli tenglamani yechish
Funksiya bir jinsli bo’lishining shartiga ko’ra . Bu ayniyatda deb olsak, , ya’ni nol o’lchovli bir jinsli funksiya faqat argumentlar nisbatigagina bog’liq. Bu holda (2) tenglama
(2`)
ko’rinishida bo’ladi. O’zgaruvchilarini almashtiramiz.
yoki . (3)
U holda . Hosilaning ifodasini (2`) ga qo’ysak, o’zgaruvchilari ajralgan tenglama hosil bo’ladi. O’zgaruvchilarini ajratib yozsak yoki buni integrallasak:
(4)
hosil qilamiz. Integraldan keyin o’rniga nisbatni (2`) tenglamaning umumiy integrali hosil bo’ladi.
3-misol: tenglamani umumiy integralini toping.
Yechish: Tenglama bir jinsli. Tenglamani almashtirish bilan yechamiz. Bu holda , , , . O’zgaruvchilarni ajratib, , ni hosil qilamiz: buni integrallab yoki .
ning o’rniga ni qo’ysak, berilgan tenglamaning umumiy integrali hosil bo’ladi: yoki ni topamiz.