Birinchi tartibli differensial tenglamalar Reja

4. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deb noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo’lgan differensial tenglamaga aytiladi. Uning umumiy ko’rinishi

(1)
shaklda bo’ladi, bunda va lar ning uzluksiz funksiyalaridir. (1) tenglamani yechimimni ning x ikkita noma’lum differensiyallanuvchi funksiyalar ko’paytmasi shaklida izlaymiz.
(2)
Bu funksiyalardan birini ixtiyoriy ma’lum shartni qanoatlantiradigan qilib olish, ikkinchisini esa (1) tenglamaga asosan aniqlaydi. U holda (2) dan
(3)
va larni (2) va (3)dagi ifodalarini (1) ga qo’yib,

yoki
(4)
ni hosil qilamiz. Bundan funksiyani tenglama o’rinli bo’ladigan qilib tanlaymiz. Bu differensial tenglamada o’zgaruvchilarni ga nisbatan ajratamiz. , buni integrallab yoki , bu yerda deb olingan. (4) tenglamaning noldan farqli biror yechimini topish yetarli bo’lgani uchun funksiya, deb
(6)
ya’ni bo’lganda, olishimiz kifoya, bunda biror boshlang’ich funksiya bo’lishi o’z-o’zidan ravshan. ning topilgan qiymatini (4) ga qo’yib, ekanligini e’tiborga olib,
yoki yoki tenglamani hosil qilamiz. Bundan
(7)
ekanligi kelib chiqadi. va larni topilgan qiymatlarini (2) ga qo’ysak, natijada
(8)
hosil bo’ladi. Bu (1) tenglamaning umumiy yechimidir. bo’ladigan xususiy yechimini topish, ya’ni Koshi masalasini yechsak, bo’ladi.
5-misol: chiziqli diiferensial tenglamani yeching.
Yechish: deb faraz qilsak, u holda bo’ladi. hosila ifodasini dastlabki tenglamaga qo’ysak. yoki ko’rinishda bo’ladi, bundan ni aniqlaymiz va quyidagi yoki
tenglamani hosil qilamiz. Uni integrallab, tenglikni hosil qilamiz, bundan , , desak, bo’ladi. ni topilgan ifodasini (8)ga qo’yib ni topish uchun yoki tenglamani hosil qilamiz, bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, berilgan tenglamani umumiy yechimi yoki bo’ladi. Berilgan tenglamani yechimini (8) formulaga asosan topsak, , bo’lgani uchun

umumiy yechim bo’ladi. Bundan

.
Demak, berilgan differensial tenglamani umumiy yechimi bo’ladi.
Yuqori tartibli differensial tenglamalar


Ta’rif. F(x,y,y’,....,y⁽ⁿ⁾)=0 ko’rinishdagi tenglamaga n - tartibli differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif. n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta с₁, с₂, .... с_n - ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarga bog’liq bo’lgan
y= (x, с₁, с₂, .... с_n)
funksiyaga aytiladi. Bu funksiya:

1. 
   с₁,...,с_n larning ixtiyoriy qiymatlarida tenglamani qanoatlantiradi;
   
2. 
   berilgan y(x₀)=y₀, (x₀)=y₁,..., y^(n-1)(x₀)=y_n-1 boshlang’ich shartda с₁, с₂, .... с_n larni shunday tanlash mumkinki,
   

y= (x, с₁, с₂, .... с_n) funksiya bu boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Ta’rif. Umumiy yechimdan с₁, с₂, .... с_n miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil bo’ladigan funksiya xususiy yechim deyiladi.