Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishning sonli usullari

^{f (x - x}0⁾ + °^{/l (}У ^- У0⁾ = ^-/2 ^(x0^, У0⁾.
ox ОУ

(3.8)

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

Ax

У ^- У0 = ^аУс

(3.9)

x - x_n

(3.8) sistemani Ax°, Ay° larga nisbatan, masalan, Kramer usuli yordamida yechamiz. Kramer formulalarini quyidagicha yozamiz:

^Ax°=^АЪ ^Ay°=^a2 ^,
bu yerda (8) sistemaning asosiy determinanti quyidagicha:
S/1( x°, y°) ^S/1^{( x}o, y°⁾
J =

(3.1°)

Sx °y
^0/2^{( X}0^, У0^{) S/}2^{( x}C У0⁾

(3.11)

* 0.

Sx Sy
(3.8) sistemaning yordamchi determinantlari esa quyidagicha:

^o/1^{( X}o^, Уо<sup>)

S/</sup>1⁽ y°⁾

• 
  ^f1^{( X}o^, y°⁾
  
• 
  ^f2^(X0^,y°⁾
  

• 
  y°⁾ Sy
  
• 
  /2(x°,Уо) ^S/2^(x°,y°⁾
  

Sy

Sx
^S/2^{( X}o^, y°<sup>)

A</sup> 2 =

A1 =

Sx

Ax°, Ay° larning topilgan qiymatlarini (3.9) ga qo‘yib, (3.8) sistemaning X₁ = (x₁, y₁) - birinchi yaqinlashishi komponentalarini topamiz:

x° + Ax°.

У1 = Ус +^Ay°.

(3.12)

Quyidagi shartning bajarilishini tekshiramiz:
max(|Ax°|,|Ay°|) <£ . (3.13)
Agar bu shart bajarilsa, u holda X₁ = (x₁, y₁) birinchi yaqinlashishni (3.8) sisteman­ing taqribiy yechimi deb, hisoblashni to‘xtatamiz. Agar (3.13) shart bajarilmasa, u holda x° = xj, y° = yj deb olib, yangi (3.8) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini
tuzamiz. Uni yechib, X₂ = (x₂, y₂) - ikkinchi yaqinlashishni topamiz. Topilgan yechimni £ ga nisbatan (3.13) bo‘yicha tekshiramiz. Agar bu shart bajarilsa, u holda (3.8) sistemaning taqribiy yechimi deb X₂ = (x₂,y₂) ni qabul qilamiz. Agar (3.13) shart bajarilmasa, u holda xj = x₂, y₁ = y₂ deb olib, X₃ = (x₃, y₃) ni topish uchun



yangi (3.8) sistemani tuzamiz va hokazo. Bu sistemani yechishning blok-sxemasi 3.3- rasmda tasvirlangan.

3.3-rasm. Ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning Nyuton usuli blok-sxemasi.

1. 
   misol. Ushbu
   

f1 (x, y) = x⁵ + y³ - xy -1 = 0
^f2 ^(x, y ⁾ = ^{x 2} y + y ^{- 2} = ⁰ tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni X₀ = (x₀, y₀) = (2; 2) deb olib, uning aniq yechimi X = (x, y) = (1; 1) ni Nyuton usuli yordamida aniqlang.

Yechish. Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi yaqinlashishlarni X_k = (x_k,y_k), orttirmalarni esa AX_k = (Ax_k,Ay_k) deb, quyidagi jadval shaklida ifodalaylik (3.1-jadval). Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, iteratsion jarayon juda tez yaqinlashadi - verguldan keyin ettita raqamgacha aniqlikdagi yechimga sakkista iter- atsiyadan keyin erishilgan. Agar berilgan tenglamalar sistemasini
(0,032 0,0^
B =

1. 
   0,0 0,9)
   

boshlang‘ich yaqinlashish bilan iteratsiya usuli bilan yechsak, u holda taqqos- lanayotgan xatolik bilan olingan yechimga 247 ta iteratsiyadan keyin erishiladi.
3.1-jadval.

k	xk	yk	Xk - X	2 AX k / AX k-1
0	2,000000000	2,000000000	1,414213562	-
1	1,693548387	0,890322581	0,702167004	0,351
2	1,394511613	0,750180529	0,466957365	0,947
3	1,192344147	0,82284086	0,261498732	1,199
4	1,077447418	0,918968807	0,112089950	1,639
5	1,022252471	0,976124950	0,032637256	2,598
6	1,002942200	0,996839728	4,317853366E-3	4,054
7	1,000065121	0,999930102	9,553233627E-5	5,124
8	1,000000033	0,999999964	4,871185259E-8	5,337
9	1,000000000	1,000000000	1,272646866E-14	5,363

Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga ega ekan-
ill |2
ligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham, |AX_k| « C|AX_k-1 bog‘lanish ildizning yetarlicha
yaqin atrofida o‘rinli, bunda C o‘zgarmas esa yetarlicha katta: C « 5,4.
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko‘payib borsa, u holda Yakob matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton usulining hisoblash samara- dorligi pasayib borishini ko‘rishimiz mumkin. Agar bir o‘lchovli holatni qaraydigan bo‘lsak, u yerda fx) va f ' (x) larni hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil. N o‘lchovli holda esa fi(x) larni hisoblash uchun n² ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa fi (x) larni n marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.

2. 
   Misol. Quyidagi
   

F(x, y) = 2x³ - y² -1 = 0
G(x, y) = xy³ - y - 4 = 0 ^
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish. Grafik usulda yoki tanlov yo‘li bilan dastlabki yaqinlashish
^x₀ = ^1,2 y₀ = ^1,7 aniqlangan bo‘lsin. U holda

8,64 - 3,40 4,91 9,40

^{- 2} y

^J (^^, y0 ) =

, demak J (1,2; 1,7 ) =

= 97,910

y^J 3xy -1 (12) formulaga ko‘ ra

- 0,434 - 3,40 0,1956 9,40

1

x1 = 1,2

= 1,2 + 0,0349 = 1,2349;

97,91

>

1

У1 = 1,7

= 1,7 - 0,0390 = 1,6610,

97,91

8,64 - 0,434 4,91 0,1956

Hisoblashlarni shu singari davom qilib,
x


3-rasm. Misolda berilgan tenglamalar siste- masidagi funksiyalarning Maple dasturida chizilgan grafiklari.
₂ = 1,2343 ; y₂ = 1,6615 ni topamiz va hisoblashlami talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dastur va grafiklardan ko‘rish mumkin (3-rasm):

• 
  plots[implicitplot]((2*x^A3-y^A2- 1=0,x*y^A3 -y-4=0 },x=-2 ..2,y=-3 ..3); solve({ 2*xA3 -yA2-1 =0,x*yA3 -y- ⁴=^0},{x,y^}); allvalues(%); evalf(%);
  

{x = 1.234274484 y= 1.661526467}

3. 
   misol. Quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasini Nyuton usulida taqribiy yeching:
   

2

x

x*

^f1 ^(x1^{, x}2 ⁾ = ^x1 ^-y + ^0,5

— = -0,5; 3

0;