Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishning sonli usullari

3-BOB.
NOCHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING
SONLI USULLARI
Kalit so‘zlar: nochiziqli tenglamalar sistemasi; Nyuton, Nyuton-Rafson, oddiy iteratsiyalar, Zeydel, parametrlarni qo‘zg‘atish, Pikar iteratsiyalari, tezkor tushish, Broyden usullari.

1. 
   Dastlabki tushunchalar
   

Ko‘plab amaliy masalalar nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Umumiy holda n noma’limli n ta nochiziqli algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:
/₁(x₁,x₂, x_w) = 0 f₂(xi,x₂, *„) = 0
(3.1)
f„{x_x,x₂, x_n) = 0
Ushbu (3.1) sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
f
(3.1')
fnf-


3.1-rasm. Ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasining fazoviy tasviri.
(x) = 0.
bu yerda x = (x\, x₂, ..., x„)^T - argumentlaming vektor ustuni; f = funksiyalarning vektor ustuni; (...)^T - transponirlash operatsiyasi belgisi. Bu sistema yechimini topishni geometrik talqinda

1. 
   rasmdagi ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasining fazoviy tas- viri misolida tushuntirish mumkin.
   

Nochiziqli tenglamalar sistemasi yechimini izlash - bu bitta nochiziqli tenglamani yechishga nisbatan ancha murakkab masala. Bitta tenglamani yechish uchun qo‘llanilgan usullarni nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirishjuda ko‘p hi- soblashlarni talab qiladi yoki uni ama­liyotda qo‘llab bo‘lmaydi. Xususan, bu oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan, nochiziqli tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini nochiziqli tenglamalar siste­masini yechishga umumlashtirish mumkin.

2. 
   Nyuton usuli
   

(3.1') tenglamalar sistemasini yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, (3.1') vektor tenglamaning izolyatsiyalangan x = (x₁, x₂, ..., xn) ildizlaridan bittasi bo‘lgan ushbu k -inchi yaqinlashish

(_x (k) _x (k) _x (k)' \^x1 , ^x2 ,..., ^xn _t
t
(k)
opilgan bo‘lsin. U holda (3.1 ) vektor tenglamaning aniq ildizini ushbu
x = x^(k) + 8^(k), (3.2)
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda 8^(k) = {s^,^ ,...,^£n^k) - xatolikni tuzatu- vchi had (ildizning xatoligi).
(3.2) ifodani (3.1 ) ga qo‘yib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
f (x^(k) + 8^{( k)} )= 0. (3.3)
Faraz qilaylik, f(x) - bu x va x^(h) larni o‘z ichiga olgan biror qovariq D sohada
uzluksiz differensiallanuvchan funlsiya bo‘lsin. (3.3) tenglamaning o‘ng tarafini £^(k)

• 
  kichik vektor darajalari bo‘yicha qatorga yoyamiz va bu qatorning chiziqli hadlari bilangina cheklanamiz:
  

f (x^(k) + 8<« )= f (x(^k))+ f '{x^(k) )^(^k) = 0. (3.4)

4. 
   formuladan kelib chiqadiki, f'(^x) hosila deb x_1?x₂, x_n - o‘zgaruvchilarga nisbatan f\, f₂, f_n - funksiyalar sistemasining quyidagi Yakob matritsasi tushuniladi:
   

" З/1 З/1

3x1 3x2
^/2 /_
3x1 3x2
3/n ³fn
3x₁ 3x

^3xn
/_
^3xn
/_
3x

2

3x_y

f ' (x) = W(x) =
yoki uni qisqacha vektor shaklida yozsak,
f ' (x) = W(x) =

4. 
   sistema bu xatolikni tuzatuvchi had £■^k} (i = 1,n) larga nisbatan W(x) matritsali chiziqli sistema. Bundan (3.4) formulani quyidagicha yozish mumkin:
   

f (x^(k))+ w(x^(k) \^(k) = 0.
Bu yerdan, w (x^(k)) - maxsus bo‘lmagan matritsa deb faraz qilib, quyidagiga ega

bo‘lamiz:
Natijada ushbu

{x(^k)f {x(^k))

^(k) - _W^-1

-W^-1(x

8

(x(^k) )f {x(^k)),

_x(k+1) = _x(k)

W^-1|x

A: = 0,1,2, ...

(3.5)

Nyuton usuli formulasiga kelamiz, bunda x⁽⁰⁾ - nolinchi yaqinlashish sifatida izla- nayotgan ildizning qo‘pol qiymatini olish mumkin.
Amaliyotda (3.Г ) nochiziqli tenglamalar sistemasini bu usul bilan yechish uchun hisoblashlar (3.5) formula bo‘yicha quyidagi shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi:

_x
(3.6)

< £
(k+1) _{- x}(k)

Yuqoridagilardan kelib chiqib, Nyuton usulin- ing algoritmini quyidagicha yozamiz:

1. 
   x⁽⁰⁾ - boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi.
   
2. 
   Ildizning qiymati (3.5) formula bo‘yicha aniqlashtiriladi.
   
3. 
   Agar (3.6) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va x^(fc+1) - (3.Г ) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 2-qadamga o‘tiladi.
   

Hisoblashlarda (3.Г ) nochiziqli tenglamalar sistemasining f(x) funksiyalari va ularning hosilalari matritsasi W(x) aniq berilgan geymiz, u holda bu sistemani yechishning blok-sxemasi 3.2-rasmdagi ko‘rinishda bo‘ladi.
f(x) vektor-funksiya x ildizi atrofida ikki mar- tagacha uzluksiz differensiallanuvchi, Yakob matrit­sasi W(x) maxsus bo‘lmagan (aynimagan), ko‘p o‘lchovli Nyuton usuli kvadratik yaqinlashishga ega:

2. 
   rasm. Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usu- lining algoritmi.
   

2

x^(k) - x



x^(k+¹⁾ - x

Shuni ta’kidlaymizki, usulning yaqinlashishini ta’minlash uchun boshlang‘ich yaqinlashishni muvaffaqiyatli tanlash muhim ahamiyatga ega. Tenglamalar sonining oshishi va ularning murakkabligi ortishi bilan yaqinlashish sohasi torayib boradi.
Xususiy hol. Hisoblash amaliyotida n=2 bo‘lgan hol ko‘p uchraydi. Buni, masa­lan, fz)=0 nochiziqli tenglamaning kompleks ildizlarini topishda ham ko‘rish mum- kin. Haqiqatan ham, agar ushbu
fi ^ y⁾ = Re(f (^x+./^y)) va f2^(x, y⁾ = ^Im(f (x + jy)) funksiyalarni kiritsak, z - kompleks ildizning x - haqiqiy qismi va y - mavhum qismi quyidagi ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishdan hosil bo‘ladi:
^fi^{( x}’^y)=^0; ₍₃₇₎

1. 
   f2 (x, y) = 0, ⁽ . ⁾
   

bu taqribiy hisoblashni Nyuton usuli yordamida £ aniqlik bilan bajaraylik.
D sohaga tegishli X₀ = (x°,y₀) - nolinchi yaqinlashishni tanlab olamiz. (3.4) dan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzib olamiz:

^{S/1(x - x}0⁾ + °^/1(У ^- У0⁾ = ^-f\⁽.^Xo^,У0⁾; ox ОУ