Oliy matematika kafedrasi
Yüklə 168,73 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 2. Bernulli tenglamasi.
|
40.3-ilova Kichik guruhlarda ishlash qoidasi 1. Talabalar ishni bajarish uchun zarur bilim va malakalarga ega bo‘lmog‘i lozim. 2. Guruhlarga aniq topshiriqlar berilmog‘i lozim. 3. Kichik guruh oldiga qo‘yilgan topshiriqni bajarish uchun yetarli vaqt ajratiladi. 4. Guruhlardagi fikrlar chegaralanmaganligi va tazyiqqa uchra- masligi haqida ogohlantirilishi zarur. 5. Guruh ish natijalarini qanday taqdim etishini aniq bilish-lari, o‘qituvchi ularga yo‘riqnoma berishi lozim. 6. Nima bo‘lganda ham muloqotda bo‘ling, o‘z fikringizni erkin namoyon eting. Guruhlarga beriladigan o’quv topshiriqlari 1-varaqa 1. Quyidagi differensial tenglamalarning umumiy yechimlarini toping:
− = + ′ − = − ′ ) 2 ; 1 ) 1 . 2.
3 = + ′ y y x differensial tenglamaning 1 =
da 1 = y bo’ladigan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping 3.
2 2
y x y y = + ′ differensial tenglamaning 1 −
x bo’lganda 1 =
bo’ladigan xususiy yechimini toping.
4. Ushbu ( ) ( ) 0 2 2 = − + +
y x dx y x to’la differensialli tenglamalarning umumiy yechimini toping.
5. ( ) 0 2 = + −
x dx y x differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchini toping va tenglamaning umumiy yechimini aniqlang.
1. Quyidagi differensial tenglamalarning umumiy yechimlarini toping:
2
2 1 1 2 ) 2 ; 3 2 ) 1
y x x y xy y x + = + − ′ = − ′ .
2. x xy y x 2 ) 1 ( 2 = − ′ + differensial tenglamaning 0 =
da 0 = y bo’ladigan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping. 3.
3 3 1 3 y x y y + = + ′ differensial tenglamaning 1 − = x bo’lganda 1 =
bo’ladigan xususiy yechimini toping.
4. Ushbu ( ) ( ) 0 4 3 2 = − − − dy x y dx x y to’la differensialli tenglamaning umumiy yechimini toping.
5. ( ) 0 2 = − +
x dx xy y differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchini toping va tenglamaning umumiy yechimini aniqlang.
1. Quyidagi differensial tenglamalarning umumiy yechimlarini toping:
1) ( ) 1 2 2 = + ′ + xy y x a ; 2)
( )
y y x = + ′ + 1 2 .
2. 1 + = + ′ x y y x differensial tenglamaning 2 =
da 3 = y bo’ladigan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping. 3.
2 3
y x y y = + ′ differensial tenglamaning 1 −
x bo’lganda 1 =
bo’ladigan xususiy yechimini toping.
4. Ushbu ( ) ( ) 0 2 3 2 3 2 2 2 2 2 = + + + dy y y x dx x xy to’la differensialli tenglamaning umumiy yechimini toping. 5.
( ) 0 1 2 = − +
xy dx y differensial tenglama uchun integrallovchi ko’paytuvchini toping va tenglamaning umumiy yechimini aniqlang.
4-varaqa 1. Quyidagi differensial tenglamalarning umumiy yechimlarini toping:
1)
ctgx ytgx y = − ′ ; 2)
. 2 sin cos x x y y = + ′
2. 5 = − ′
y x differensial tenglamaning 2 =
da 3 = y bo’ladigan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping. 3. 1)
2 2
y x y y = + ′ differensial tenglamaning 3 =
bo’lganda 4 = y bo’ladigan xususiy yechimini toping.
4. Ushbu ( ) ( ) 0 3 2 2 3 2 = − + + dy x dx y x to’la differensialli tenglamaning umumiy yechimini toping.
5. ( ) 0 cos sin
= + + dy x dx å x y differensial tenglama uchun
integrallovchi ko’paytuvchini toping va tenglamaning umumiy yechimini aniqlang.
1. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Bunday tenglama
) ( ) (
g y x p dx dy = + ko’rinishda bo’lib, ) (
( x g va x p lar berilgan funksiyalar. Bunday tenglamani yechish uchun ( )
y x u z = almashtirish olib ) ( ) ( 1 ) (
u x g z dx du u x p dx dz = − + (1) tenglamani hosil qilamiz. ) (x u funksiyani shunday tanlaymizki,
0 1 ) ( = − dx du u x p
bo’lsin. Bundan ∫ =
x p e x u ) ( ) ( bo’lib, bu holda (1) tenglama
C e x g dx dz dx x p + = ∫ ) ( ) (
ko’rinishda bo’ladi. Bevosita integrallasak
. ) ( ) ( C dx e x g z dx x p + = ∫ ∫
hosil bo’ladi. Endi izlanayotgan
funksiyaga qaytib
+ = ∫ ∫ ∫ − dx e x g C e y dx x p dx x p ) ( ) ( ) ( (2)
umumiy yechimni hosil qilamiz. 1-misol.
= + ′ differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Yechish. Berilgan tenglama birinchi tartibli chiziqli tenglama bo’lib x x g x x p = = ) ( , ) ( ligini hisobga olib (2) formulaga asosan, ). ( ). ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C e e y C e e x d e C e dx e x C e dx e x C e y x x x x x x x x xdx xdx + = + = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + = − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
umumiy yechim bo’ladi.
2. Bernulli tenglamasi. Bunday differensial tenglama
) ( ) (
g y y x p y n = + ′
ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglamada n =0 yoki n =1bo’lsa, chiziqli tenglama osil bo’ladi. Demak
1 , 0 ≠ bo’lgan ,o’zgarmas. Bernulli tenglamasini n y
ga bo’lib, z y x g y x p y y n n n = = + ′ − − 1 1 1 ), ( 1 ) ( almashtirish bajarsak,
′ − = ′ = ′ − − ) 1 ( ) ( 1
ekanligini hisobga olsak,
) (
1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 x g n z x p n z yoki x g z x p n z − = − + ′ = + − ′
birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi. 2-misol. 3
xy y = + ′ differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Yechish. Berilgan tenglamani 3
bo’lib,
= + ′ 2 3 1
tenglamani hosil qilamiz. z y = 2 1 almashtirish olsak 3 2
y z ′ = ′ bo’ladi. Bularni tenglamaga qo’yib,
x xz z x xz z 2 2 , 2 − = − ′ = + ′ chiziqli tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning umumiy yechimini (6) formulaga asosan topish mumkin:
[ ]
] [ ] . 1 ) ( 2 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = − + = − = − + = − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x x x xdx xdx Ce e C e x d e C e dx xe C e dx e x C e z
Shunday qilib 1 2 + ⋅ = x e C z
bo’ladi,
ning o’rniga 2 1
ni qo’yib,
, 1 1 , 1 1 2 2 2 2 + = + ⋅ = x x Ce y e C y
yechimni olamiz. Bu berilgan Bernulli tenglamasining umumiy yechimi bo’ladi. 3. Rikkati tenglamasi. Ushbu
( )
( ) ( )
x c y x b y x a dx dy + + = 2
ko’rinishdagi differensial tenglamaga Rikkati tenglamasi deyiladi. Bunda ( ) ( ) ( ) x c x b x a , , funksiyalar biror intervalda aniqlangan uzluksiz funksiyalar. (4) tenglamada ( ) 0
x a bo’lsa, chiziqli tenglama, ( ) 0
x c
bo’lsa, Bernulli tenglamasi kelib chiqadi. Umuman olganda Rikkati tenglamasi yechimini elementar funksiya va ularning integrallari yordamida yechib(kvadraturada integrallab) bo’lmaydi. Ushbu xususiy holni qaraymiz: Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa , bu tenglama yechimi kvadraturalarda integrallanadi. ( )
ϕ = Rikkati tenglamasining biror xususiy yechimi bo’lsin. ( )
ϕ = + z almashtirish bajaramiz: bu holda
( )
dx dz dx x d dx dy + = ϕ
bo’lib, (4) tenglama ( )
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) x c z x x b z x x a dx dz dx x d + + + + = + ϕ ϕ ϕ 2
ko’rinishda bo’ladi. Oxirgi tenglikdan, ( )
x y ϕ = (4) tenglama yechimi, ya’ni
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) x c x x b x x a dx x d + + = ϕ ϕ ϕ 2
ekanligini hisobga olsak,
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 z x a z x b x x a dx dz + + = ϕ
tenglama hosil bo’lib, bu Bernulli tenglamasidir. Bunday differensial tenglamaning umumiy yechimini qanday topishni yuqorida o’rgandik. 3- misol. Ushbu
( )
2 5 2 x xy y dx dy − + + − = Rikkati tenglamasining umumiy yechimini toping. Yechish. Bu tenglamaning xususiy yechimini ( )
b ax x y + = = ϕ
ko’rinishda izlash maqsadga muvofiq, bu holda
( ) (
( ) 2 2 5 2 , x b ax x b ax a a dx x d − + + + + − = = ϕ
bo’lib, bir xil darajali x lar koeffisiyentlarini tenglashtirsak 2 ,
± = = b a kelib chiqadi. Demak, ( )
( ) 2 , 2 − = + =
x x x ϕ ϕ xususiy
yechimlar bo’ladi. ( ) 2 + = x x ϕ xususiy yechim uchun Bernulli tenglamasi 2 4 z z dx dz − − =
bo’lib, uning umumiy yechimi 1 4 2 4 − + + = ч е
x y
bo’ladi. Yüklə 168,73 Kb. Dostları ilə paylaş:
|