Operatorlar qrupu və yarımqrupları Operatorlar yarımqrupu, onların bəzi xassələri, Hille-İosida teoremi

Kafilik. Əvvəlcə qeyd edək ki, əgər C və Dsıxan və sinfinə daxil olan U(t) və V(t) yarımqrupları əmələ gətirirsə, belə ki, U(t)V(t)=V(s)U(t), s,t onda
(7)

işarə edək.
= , t 0,
bərabərsizliyindən alırıq ki, yarımqrupu güclü kəsilməz sıxan yarımqrupdur. İstənilən x D(A) üçün
x=Ax
olduğunu göstərək.
Əgər g D(A) olarsa,
g- Ag =g,
Ag .
Onda şərtində g g. D(A)=X olduğu üçün olar g = g . Buradan


x= Ax Ax, .
=Ax
Əgər (7) bərabərsizliyində C= , D= götürsək,

İstənilən x və qeyd olunmuş t üçün
T(t)x= , x
kimi təyin edək. Göstərmək olar ki, . Eyni zamanda T(s)*T(t)= T(s+t) və T(0)=I şərtləri ödənir x olduqda
T(t)x-x -x = = (8)
olduğundan T( )x istənilən x oblastında kəsilməzdir. Beləliklə, T(t) sinfinə daxil olan sıxan yarımqrup olurş B ilə bu yarımqrupun doğuran operatorunu işarə edək. (8) bərabərliyindən alınır ki, D(A) D(B) və istənilən x üçün Bx=Ax, yəni A B.
Teoremin birinci hissəsinə görə 1 , ona görə də 1 . Buradan alınır ki,
. Digər tərəfdən, vəhər iki operator X-da məhdud olduğundan A=B alırıq.
Teorem 3. Hər bir yarımqrup öz doğuran operatoru vasitəsillə birqiymətli təyin olunur.
İsbatı. Tutaq ki, Tvə S C₀ sinfinə daxil olan və eyni doğuran A operatora malik olan yarımqruplardır. İstənilən x və t>0 üçün
u(s)=T(s)S(t-s)x
təyin edək. Onda
T(s)(-A)S(t-s)x+(T(s)A)S(t-s)x=0
Deməli , u(s) funksiyası sabitdir . Ona görə də ,
T(t)x=u(t)=u(0)=S(t)x
Bu bəraərlik istənilən x və t>0 üçün doğru olduğundan T=S alırıq.
Tutaq ki, X=H Hilbert fəzasıdır. Əgər istənilən x üçün Re(Ax, x) şərti ödənilərsə, onda Adissipativ operator adlanır.
Teorem 4. Tutaq ki, A H Hilbert fəzasında təsiredən xətti operatordur və aşağıdakı şərtlər ödənilir :

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   A dissipativ operatordur.
   

Onda A operatoru sindfinə güclü kəsilməz yarımqrup əmələ gətirir.