Operatorlar qrupu və yarımqrupları Operatorlar yarımqrupu, onların bəzi xassələri, Hille-İosida teoremi

Operatorlar qrupu və yarımqrupları
Operatorlar yarımqrupu, onların bəzi xassələri, Hille-İosida teoremi
Məlum olduğu kimi t ≥ 0 həqiqi dəyişənindən asılı olan və f(0) =0, f(t+u)= f(t)*f(u) funksional tənliyini ödəyən həqiqi və ya kompleks qiymətli nisbətən ən ümumi kəsilməz funksiya f(t)= exp(ta) şəklində üstlü funksiyadır. İndi tutaq ki, X hər hansı banax fəzasıdır və {T(t)}, 0≤t<∞ bu fəzada təyin olunmuş xətti məhdud operatorlar ailəsidir.
Tərif. Əgər {T(t)} operatorlar ailəsi

1. 
   İstənilən t,s [0, ∞)üçün T(t+s)= T(t)*T(s),
   
2. 
   T(0) =I, (I – X fəzasında vahid operatordur),
   
3. 
   İstənilən x X üçün T(t)x t dəyişəninə görə [0, ∞) intervalında kəsilməzdir;
   

şərtlərini ödəyirsə, ona güclü kəsilməz operatorlar yarımqrupu deyilir.
Aşağıdakı qayda ilə təyin olunan A operatoruna T(t) yarımqrupunun doğuran operatoru deyilir.
. (1)
A operatorunun təyin oblastı D(A) elə x X elementlərindən ibarətdir ki, həmin elementlər üçün (1) bərabərliyinin sağ tərəfindəki limit olsun. Göstərmək olar ki, A xətti operatordur və D(A) X fəzasında hər yerdə sıx çoxluqdur, yəni = X.
Qeyd olunmuş t > 0 və istənilən x X üçün aşağıdakı inteqrala baxaq:
y= , (inteqral Riman mənada başa düşülür).
Bu qayda ilə təyin edilmiş y elementləri üçün (1) limitinin olduğunu göstərək.
y-y = - = - = - = -
olduğundan
y-y= - . (2)
Digər tərəfdən istənilən x X üçün alarıq:
|| ||≤ * =
T(t) yarımqrupunun sıfır nöqtəsində kəsilməzliyini nəzərə alaraq bu bərabərsizliyin hər tərəfində 0 şərtində limitə keçsək


.
olduğunu alarıq.
(2) bərabərliyinin hər iki tərəfini ya bölüb 0 şərtində limitə keçsək alarıq:
= T(t)x-x
Beləliklə, y şəklində elementlər üçün nisbətinin limiti vardır, yəni y D(A). Beləliklə şəklində elementlər də D(A) çoxluğuna daxildir. Digər tərəfdən
=x
olduğundan istənilən x X elementini bu qayda ilə təyin olunan elementlərin limiti kimi göstərmək olar. Bu isə D(A) çoxuğunun X-da sıx olması deməkdir. (1) bərabərliyindən görünür ki , istənilən t≥0 üçün
=A*T(t)x=T(t)Ax.
Başqa sözlə,


(T(t)x)=T(t)Ax.
Buradan alırıq ki,


(T(t)x)=AⁿT(t).
Bu bərabərlik yarımqrupun D(A) çoxluğunda istənilən tərtibdən diferensiallanan olduğunu göstərir. Təbii olaraq hansı A operatorlarının nə zaman kəsilməz yarımqrup əmələ gətirməsi sualı ortaya çıxır.
Teorem 1. Tutaq ki, A X Banax fəzasında təsir edən xətti məhdud operatordur.
Onda
T(t)= t
Operatorlar ailəsi güclü kəsilməz yarımqrup təşkil edir və t şərtində
. (3)
və A,T(t) yarımqrupunun doğuran operatorudur. Əksinə, əgər T(t) güclü kəsilməz yarımqrupdursa və (3) şərti ödənilirsə, onda onun doğuran operatoru A X fəzasında xətti məhdud operatordur və T(t)= .


İsbatı. Müsbət N və M ədədləri üçün



olduğundan Sırası müntəzəm operator topologiyasına görə T(t)=
operatoruna yığılır. Qüvvət sıraları üçün doğru olan


=
Bərabərliyindən yarımqrupun 1-ci xassəsinin doğru olduğunu alırıq.
Aydındır ki, T(0)=I.


-1

Bərabərsizliyində t şərtində limitə keçsək

alarıq.
Analoji üsulla t şərtində



Olduğunu alırıq. Bu isə A-nın T(t) yarımqrupunun törədici operatoru olduğunu göstərir.
Əksini göstərmək üçün x , T>0 üçün
B(t)x=
işarə edək.
(3) bərabərliyindən çıxır ki, t şərtində

Xüsusi halda, olduqda

B(t)=I+
bərabərliyindən

Olduğunu və –nin məhdudluğunu alırıq.
Tutaq ki, A T(t) yarımqrupunun törədici operatorudur. Y=D(A) işarə edək . (Bu çoxluqda norması təyin edilmişdir.) B(t) ooperatorları X-dən Y-ə kəsilməz təsir edən operatorlardır. A məhdud operator olduğundan A*B(t) də ( ) X-dən Y-ə kəsilməz təsir edən operatorlar olar. Onda istənilən x X üçün

alırıq. Bu isə A-nın məhdud olduğunu göstərir.
Teorem 2. (Hille-Iosida) A operatorunun sıxan və güclü kəsilməz yarımqrupun doğuran operatoru olması üçün zəruri və kafi şərt A-nın hər yerdə sıx çoxluqda təyin olunmuş qapalı operator olması və istənilən üçün
olmasıdır.

İsbatı. (zərurilik). götürək. Onda

Ona görə də T(t ) və

=T(t)Ax, x
Beləliklə, t>0 olduqda .

Deməli x olduqda T(t)x ( ) və

(4)

T(t) x-x= , x (5)

Göstərək ki, A qapalı məhdud operatordur.
Tutaq ki ,
Onda (4) bərabərliyinə görə



olar. Əgər bu bərabərlikdə n olmaqla limitə keçsək

alarıq. Alınmış bu bərabərlikdə t şərtində limitə keçsək alarıq:



Başqa sözlə, x D(A), və y=Ax. Yəni, A qapalı operatordur.
Qeyd edək ki, üçün operatoru A- olan sıxan və sinfinə daxil olan yarımqrupdur.
(5) bərabərliyini nəzərə alsaq
= x X


= x D(A).

t şərtində limitə keçsək və A-nın qapalı olduğunu nəzərə alsaq, onda

Beləliklə,


(6)
Buradan
,
üçün teoremin zəruriliyi isbat edildi.