Operatorlar qrupu və yarımqrupları Operatorlar yarımqrupu, onların bəzi xassələri, Hille-İosida teoremi

Eksponensial funksiya və operatorlar qrupu
Fərz edək ki, A operatoru Ebanax fəzasında təsir edən məhdud operatordur. Onda tərifə görə istənilən t üçün
(1)
sırasının köməyi ilə eksponensial funksiya təyin edə bilərik. Bu funksiya normay görə t dəyişəninə görə kəsilməz funksiyadır və bərabərliyini ödəyir.
Tutaq ki, u(t) t dəyişəninə nəzərən kəsilməz operatorlar ailəsidir və u(t+s)=u(t)*u(s) şərtini ödəyir. Bu halda elə məhdud Aoperatoru vardır ki, u(t)= , u(0)=I (I-E Banax fəzasında vahid operatordur) olduğundan u(t)-nin spektri 1 ədədinin ətrafında yerləşir və onun üçün ln u(t) operatoru təyiin etmək olar. A= işarə edək.
Asanlıqla görmək olar ki, u(t) operatorunu =Au(t) diferensial tənliyinin həlli kimi də təyin etmək olar. A operatoru yarımqrupun doğuran operatorudur və

kimi təyin edilir.

Qeyd edək ki, doğuran operator aşağıdakı teorm vasitəsilə tam təsvir edilir.
Teorem 1. A operatorunun birparametrli kəsilməz operatorlar qrupunu doğuran operator olması üçün zəruri və kafi şərt onun təyin oblastının hər yerdə sıx olması və spektrinin zolağında yerləşməsi və onun R() rezolventasının olduqda
şərtini ödəməsidir.
İsbat olunmuşdur ki, bu halda

u(t)x = - (2)

şəklində təyin edilir və şərti ödənilir. Əgər <0 olarsa , yəni yarımqrup sıxan yarımqrup olur. Bu halda şərti ödənilir.
Qeyd edək ki, doğuran operatora görə təyin edilmiş yarımqrupla əlaqəni göstərən (2) bərabərliyindən başqa aşağıda göstərilən münasibətlər də doğrudur:

1. 
   u(t)x=
   
2. 
   u(t)x=
   
3. 
   u(t)x=
   
4. 
   u(t)x=
   

Sürüşmə tipli operatorlar yarımqrupları
Yarımox və ya bütün oxda təyin edilmiş müxtəlif sinif funksiyalar fəzasında arqumentin sürüşməsi əməli ilə təyin edilmiş yarımqruplara aid bəzi misallara baxaq. Məsələn, fəzasında u(t) f(s)= f(t+s), sürüşmə operatoru təyin edək. Bu operatorlar kəsilməz qrup təşkil edir. Doğrudan da ,
u( )

u( )= )

münasibətindən u ) =u( ) alınır.
Göstərmək olar ki, u(t) operatorları sıxan operatorlardır, yəni 1
Asanlıqla göstərmək olar ki, sürüşmə operatorunun doğuran operaoru diferensiallama operatorudur. Doğrudan da,


=

Baxdığımız

operatoru f(s) funksiyasının birinci tərtib ayrılmış fərqini verir.
Bu operatorun n-ci dərəcəsi n-ci tərtib ayrılmış fərq adlanan kəmiyyətə bərabərdir:
f(s)
Bu halda aşağıdakı bərabərlik doğrudur:
f(s+t) =
Unitar operatorlar qrupu və yarımqrupları . Stoun teoremi
Tutaq ki, U H Hilbert fəzasında təyin edilmiş unitar operatordur. Tarifə görə istənilən x,y üçün (U(x),U(y))=(x,y), =1 şərtləri ödənilir, ( - məxsusi ədədlərdir). Uoperatoru üçün
U=
spektral ayrılış düsturu doğrudur. Burada - vahidin ayrılışıdır.
İstənilən tam n ədədi üçün

Bərabərliyi də doğrudur.
Onda tərifə görə istənilən t həqiqi ədədi üçün
(1)
operatorunu təyin edək. Bu bərabərlik vasitəsilə təyin olunmuş unitar operatorlarailəsi aşağıdakı xassələrə malikdir: