Birtərtibli kvadratura gətirilə bilən diferensial tənliklər

Birtərtibli kvadratura gətirilə bilən diferensial tənliklər

Birtərtibli diferensial tənlik ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazılır

Bu tənliyi axtarılan funksiyanın y törəməsinə nəzərən həll etmək mümkün olduqda

şəklində törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli diferensial tənlik alınır.

Tutaq ki, M(x) və funksiyaları uyğun olaraq (a,b) və (c,d ) intervalında kəsilməzdir. Bu halda

(1)

tənliyinə dəyişənlərinə ayrılmış diferensial tənlik deyilir. (1) tənliyində dx-in əmsalı ancaq x-dən, dy-in əmsalı ancaq y-dən asılıdır.

Fərz edək ki, funksiyası (1) tənliyinin həllidir. Onda həmin funksiya (1) tənliyini eyniliyə çevirir:

(2)

Bu eyniliyi inteqralladıqda

(3)

münasibəti alınar, burada S ixtiyari sabitdir. Buradan aydındır ki, (3) tənliyi (1) tənliyinin bütün həllərini təyin edir. Buna görə də (3) münasibətinə (1) tənliyinin ümumi inteqralı deyilir.

Fərz edək ki, M₁(x), M₂(x), N₁(y), N₂(y) funksiyaları kəsilməzdir. Bu halda

(4)

tənliyinə dəyişənlərinə ayrılan tənlik deyilir. Bu tənliyi həll etmək üçün onun hər iki tərəfini N₁(y) M₂(x) ^ 0 hasilinə bölək:

Dəyişənlərinə ayrılmış bu tənliyin ümumi inteqralı

(5)

olar. (4) tənliyinin (5) ümumi inteqralından alınmayan başqa həlləri də ola bilər. Belə həllər N₁(y) M₂(x) ₌ 0 bərabərliyinin ödənildiyi nöqtələr içərisində olar

(N₁( y) ₌ 0, M₂(x) ₌ 0)

Misal. x ₌ 5, y ₌ 1 başlanğıc şərtini ödəyən diferensial tənliyinin həllini tapmalı.

,

(x – 1)dx ₊ ( y ₊ 2)dy ₌ 0 ,

,

( ).

Mərkəzi O(1,–2) nöqtəsində olan çevrələr. Xüsusi həlli tapaq üçün x ₌ 5, y ₌ 1 başlanğıc şərtlərdən istifadə edək:

,

Axtarılan xüsusi inteqral

çevrəni müəyyən edir.

Birtərtibli bircins diferensial tənliklər: Tərif 1. Əgər hər bir k ədədi üçün

(1)

eyniliyi doğru olarsa, onda funksiyasına x və y dəyişənlərinə nəzərən n dərəcəli bircins funksiya deyilir.

İndi isə

(2)

diferensial tənliyinə baxaq.

Tərif 2. Əgər x və y dəyişənlərinin diferensiallarının M (x, y) və
N (x, y) əmsalları eyni dərəcəli bircins funksiyalar olarsa, onda (2) tənliyi birtərtibli bircins diferensial tənlik adlanır.

Bu tənliyi həll etmək üçün , y ₌ xz, dy ₌ xdz ₊ zdx əvəzləməsi vasitəsilə onu dəyişənlərinə ayrılan tənliyə gətirmək lazımdır.

İndi tutaq ki, bircins diferensial tənlik aşağıdakı şəkildə verilmişdir

. (3)

Əgər funksiyası x və y dəyişənlərinə nəzərən sıfır dərəcəli bircins funksiya olarsa, yəni



şərti ödənilərsə, onda (3) tənliyi birtərtibli bircins diferensial tənlik olar.

Misal. diferensial tənliyinin ümumi həllini tapmalı.

,

.

və birdərəcəli bircins funksiyalardır. Doğrudan da,

,

.

Tənliyi həll etmək üçun , y ₌ xz, dy ₌ xdz ₊ zdx əvəzləməsini aparsaq, alarıq

xz lnz·dx-x(xdz₊zdx)=0.

Buradan

xdz₌z(lnz-1)dx,

,

,

,

, ,

, , .

Nəticədə baxılan tənliyin ümumi həlli olar.

Misallar: