Birtərtibli kvadratura gətirilə bilən diferensial tənliklər



Yüklə 185,98 Kb.
tarix02.01.2022
ölçüsü185,98 Kb.
#47425
növüYazı
serb is N1


Birtərtibli kvadratura gətirilə bilən diferensial tənliklər

Birtərtibli diferensial tənlik ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazılır



Bu tənliyi axtarılan funksiyanın y törəməsinə nəzərən həll etmək mümkün olduqda

şəklində törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli diferensial tənlik alınır.

Tutaq ki, M(x) və funksiyaları uyğun olaraq (a,b) və (c,d ) intervalında kəsilməzdir. Bu halda

(1)

tənliyinə dəyişənlərinə ayrılmış diferensial tənlik deyilir. (1) tənliyində dx-in əmsalı ancaq x-dən, dy-in əmsalı ancaq y-dən asılıdır.

Fərz edək ki, funksiyası (1) tənliyinin həllidir. Onda həmin funksiya (1) tənliyini eyniliyə çevirir:

(2)

Bu eyniliyi inteqralladıqda

(3)

münasibəti alınar, burada S ixtiyari sabitdir. Buradan aydındır ki, (3) tənliyi (1) tənliyinin bütün həllərini təyin edir. Buna görə də (3) münasibətinə (1) tənliyinin ümumi inteqralı deyilir.

Fərz edək ki, M1(x), M2(x), N1(y), N2(y) funksiyaları kəsilməzdir. Bu halda

(4)

tənliyinə dəyişənlərinə ayrılan tənlik deyilir. Bu tənliyi həll etmək üçün onun hər iki tərəfini N1(y) M2(x) 0 hasilinə bölək:



Dəyişənlərinə ayrılmış bu tənliyin ümumi inteqralı



(5)

olar. (4) tənliyinin (5) ümumi inteqralından alınmayan başqa həlləri də ola bilər. Belə həllər N1(y) M2(x) = 0 bərabərliyinin ödənildiyi nöqtələr içərisində olar

(N1( y) = 0, M2(x) = 0)

Misal. x = 5, y = 1 başlanğıc şərtini ödəyən diferensial tənliyinin həllini tapmalı.

,

(x – 1)dx + ( y + 2)dy = 0 ,

,

( ).

Mərkəzi O(1,–2) nöqtəsində olan çevrələr. Xüsusi həlli tapaq üçün x = 5, y = 1 başlanğıc şərtlərdən istifadə edək:



,

Axtarılan xüsusi inteqral



çevrəni müəyyən edir.



Birtərtibli bircins diferensial tənliklər: Tərif 1. Əgər hər bir k ədədi üçün

(1)

eyniliyi doğru olarsa, onda funksiyasına x y dəyişənlərinə nəzərən n dərəcəli bircins funksiya deyilir.

İndi isə

(2)

diferensial tənliyinə baxaq.



Tərif 2. Əgər xy dəyişənlərinin diferensiallarının M (x, y) və
N (x, y) əmsalları eyni dərəcəli bircins funksiyalar olarsa, onda (2) tənliyi birtərtibli bircins diferensial tənlik adlanır.

Bu tənliyi həll etmək üçün , y = xz, dy = xdz + zdx əvəzləməsi vasitəsilə onu dəyişənlərinə ayrılan tənliyə gətirmək lazımdır.

İndi tutaq ki, bircins diferensial tənlik aşağıdakı şəkildə verilmişdir

. (3)

Əgər funksiyası xy dəyişənlərinə nəzərən sıfır dərəcəli bircins funksiya olarsa, yəni



şərti ödənilərsə, onda (3) tənliyi birtərtibli bircins diferensial tənlik olar.

Misal. diferensial tənliyinin ümumi həllini tapmalı.

,



.

və birdərəcəli bircins funksiyalardır. Doğrudan da,

,

.

Tənliyi həll etmək üçun , y = xz, dy = xdz + zdx əvəzləməsini aparsaq, alarıq



xz lnz·dx-x(xdz+zdx)=0.

Buradan


xdz=z(lnz-1)dx,

,

,

,

, ,

, , .

Nəticədə baxılan tənliyin ümumi həlli olar.



Misallar:


Yüklə 185,98 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin