Orta mánis haqqındaġı teoremaġa keri teorema. Awıstırılatuġın ayrıqshalıq tuwrısındaġı teorema. Garnak teńsizligi

19-lekciya
Orta mánis haqqındaġı teoremaġa keri teorema. Awıstırılatuġın
ayrıqshalıq tuwrısındaġı teorema. Garnak teńsizligi
Sferalıq koordinatalardıń

sistemasında berilgen másele tómendegishe qoyıladı:
(1)
Bul máseleni sheshiw ushın tuwrı múyeshli koordinatalar sistemasınan formulası boyınsha sferalıq koordinatalar sistemasına ótemiz. Sferalıq koordinatalar sistemasında Laplas teńlemesi

túrine iye boladı.
Sońġı teńlemeniń sheshimin

kóriniste izleymiz hám bunı teńlemege qoyıp, ózgeriwshilerin ajıratsaq

yamasa

dep túrlendirsek, bunnan

hám

túrindegi eki teńlemege iye bolamız.

operatorı Beltra operatorı dep ataladı. Endi usı operatorlıń, yaġnıy

máseleniń menshikli mánisleri menen menshikli funkciyaların anıqlaymız.
Onıń ushın jáne ózgeriwshilerdi kóriniste ajıratamız.
Bunnan

teńligine iye bolamız.
Sońġı teńlikten tómendegi Shturm-Liuvill máselesine iye bolamız:

<sub>hám bunıń

túrindegi menshikli mánisleri menen menshikli funkciyalarına iye bolamız. Sonıń menen birge</sub>

teńlemesine hám iye bolamız. Sońġı teńlemede ózgeriwshilerdi formulası boyınsha almastıramız hám shegaralıq shárti bolmaġan Shturm-Liuvill máselesine uqsas

teńlemesine iye bolamız.
Sońġı teńlemede hám bolġanda hám bolıp, bul teńleme shegaralanbaġan hám sheshimge iye bolıp qaladı. Sonıń ushın bul teńlemege sheshimniń shegaralanġanlıq shártin qosıp

kórinistegi Shturm-Liuvill máselesine iye bolamız.
Bul teńlemeni dáslep ushın sheshemiz:

Payda bolġan teńleme Lejandr teńlemesi bolıp tabıladı. Onıń ushın shegaralanġan sheshimi tek ushın boladı hám bul sheshimler

formulası menen anıqlanadı, bul jerde Lejandr kópaġzalısı bolıp, bul kópaġzalı ushın teńligin qanaatlandıradı.
Solay etip

hám bunıń sheshimi

boladı. Onda

máseleniń sheshimi tutastırılġan Lejandr kópaġzalısı bolıp, ol

yamasa

kórinistegi sheshimge iye boladı.
sisteması ortogonallı, yaġnıy ushın

boladı. Beltra operatorı hár bir ushın sandaġı menshikli funkciyalarġa iye:



Bul funkciyalardıń hár biri sferalıq funkciyalar dep ataladı. Bulardıń algebralıq qosındısı jáne sferalıq funkciya bolıp tabıladı. Bul qosındını

kóriniste jazıwġa boladı, onıń ushın

sferalıq funkciyalardı

túrinde jazılġan dep esaplaymız.
Eger dep belgilesek, bul tártipli sferalıq funkciya bolıp, Beltra operatorınıń menshikli funkciyası retinde

teńlemesin qanaatlandıradı.
Joqarıdaġı

teńleme Eyler teńlemesi bolıp, ushın onıń sheshimi

_bolıp,

funkciyası Laplas teńlemesin qanaatlandıradı hám ol shar funkciyası dep ataladı.
Sharda Laplas teńlemesiniń sheshimi

Shar sırtında Laplas teńlemesiniń sheshimi

fl shar qatlamında bolsa

formulaları menen anıqlanadı. (1) teńlemeniń shegaralıq shártin qanaatlandıratuġın sheshimin ajıratıp alıw ushın funkciyasın sferalıq funkciyalar boyınsha qatarġa jayamız

Onda

bolıp, bunnan

bolġanlıqtan

boladı. Sheshimdi bunnan basqa anıq túrde ala almaymız, sebebi sheshimdi sferalıq funkciyalar boyınsha jayġan waqıtta tutastırılġan kópaġzalılar boyınsha kórsetiwge tuwra keledi. Bunı ulıwma tómendegishe alıp barıw kerek.
Dáslep funkciyasın qádimgi trigonometriyalıq sistema boyınsha

kóriniste qatarġa jayamız, keyin koefficientlerin tutastırılġan kópaġzalılar boyınsha sisteması boyınsha jayıladı

bul jerde

Usıġan uqsas
.
Bunday qıyınshılıqlardan qutılıw ushın ámeliy máselelerdi sheshiw payıtında shegaralıq shártte berilgen funkciyası shekli sandaġı sferalıq funkciyalardıń qosındısı túrinde alınadı.
Mısal ushın

máselesin shesheyik.

funkciyasında qatnasıp, bunnan bolatuġınlıġı kelip shıġadı. Onda sheshimde ġa kóbeytilgen funkciyası qatnasadı. Endi usı funkciyanı tabamız. Onıń ushın Lejandrdıń qaysı kópaġzalısınıń tuwındısı bolatuġınlıġın anıqlaymız.

bolġanlıqtan

bolıp, bunnan

Onda


bolıp, bunnan ushın sheshim

formulası boyınsha


kóriniste anıqlanadı. Belgisiz koefficientler shegaralıq shártten anıqlanadı, al koefficientler bolsa

teńliginen anıqlanadı, yaġnıy yaġnıy



Teńliktiń eki jaġın salıstırsaq bolıp, bunnan boladı. Bulardı orınlarına qoysaq

boladı. Sonıń menen birge sheshimdi

túrinde kórsetiwge de boladı. Bul sheshim shegaralıq shártti qanaatlandırıw ushın

Bul qatar funkciyasınıń hám funkciyaları boyınsha jayılġan Fure qatarı bolıp, belisiz koefficientler



_formulaları menen anıqlanadı.