O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

8. Polugruppaning elementi bir vaqtning o’zida o’ng nol va chap bir bo’laoladimi?

9*. O’ng qisqartirishli (ya’ni dan hosil bo’ladigan) va aqalli bitta chap birga ega bo’lgan chekli (ya’ni elementlari soni chekli bo’lgan) polugruppa gruppa bo’lishini isbot qiling.

10. Gruppa bo’laolmaydigan o’ng qisqartirishli chekli polugruppaga misol tuzing.

11. Chekli to’plamda  binar amal Keli jadvali bilan aniqlangan bo’lsin. Bu ta satr va ta ustundan iborat bo’lib, uning satri bilan ustuni kesishgan joyda ning ga teng elementi turadi. Bu jadval ko’paytirish jadvali ham deyiladi. Quyidagi amallar uchun Keli jadvallari tuzing:

a) to’plamda eng kichik umumiy karralini topish;

b) to’plamda eng katta umumiy bo’luvchini topish;

c) da to’plamlarning birlashmasini topish;

d) da to’plamlarning kesishmasini topish;
funksiyalar kompozitsiyasini topish.


12. to’plamda algebraik amallarni quyidagiga aniqlaymiz:

a) son ni ga bo’lishdan hosil bo’ladigan qoldiq. Bu amalni modul bo’yicha qo’shish deb atab bilan belgilaymiz;

b) son ni ga bo’lishdan hosil bo’ladigan qoldiq. Bu amalni modul bo’yicha ko’paytirish deb atab belgi bilan belgilaymiz.

va algebraik sistemalarni xarakterlang. hollar uchun ularning Keli jadvallarini tuzing.

§2. Gruppalar. Qismgruppalar. Izomorfizm.
Gruppa tushunchasining alohida ahamiyatga egaligini hisobga olib uning «gruppoid», «polugruppa» va «monoid» iboralaridan foydalanilmay beriladigan ta’rifini keltiramiz.

Bo’sh bo’lmagan to’plamda * binar algebraik amal aniqlangan bo’lib,

1. har qanday elementlar uchun element bir qiymatli aniqlangan;

   
   

2.  amal assosiativ;

   
   

3. da neytral element mavjud;

   
   

4. ning barcha elementlari teskarilanuvchi,

   
   

shartlar bajarilsa, sistema gruppa deyiladi. Bu holatda to’plam * amalga nisbatan gruppa tashkil etadi deb ham aytadilar.

Har qanday gruppoidning ixtiyoriy elementlari uchun bo’lsa, * amal kommutativ amal, gruppoidning o’zi esa kommutativ gruppoid deyiladi.
Kommutativ gruppa abel gruppa ham deyiladi.

Ko’pgina hollarda algebraik amalni ko’paytirish yoki qo’shish deb atash qulaylik qiladi. Agar amalni ko’paytirish deb atasak, va elementlarning kompozitsiya ko’paytma deb ataladi va ko’rinishda yoziladi. Bu holda neytral element birlik element deb ataladi va 1 yoki bilan, g teskari element esa bilan belgilanadi.

Agar amal qo’shish deb atalsa va elementlar kompozitsiyasi yig’indi deb ataladi va bilan; neytral element nol deb ataladi va 0 simvol bilan; ga teskari element esa qarama-qarshi element deyiladi va bilan belgilanadi.
Gruppadagi amal ko’paytirish deb atalganda, gruppaning o’zi multiplikativ gruppa, qo’shish deb atalganda esa additiv gruppa deyiladi.

Agar gruppa elementlari soni chekli bo’lsa, chekli gruppa, aks holda cheksiz gruppa deyiladi. Chekli gruppa elementlari soni uning tartibi deyiladi.