6.1.3-tasdiq. Ixtiyoriy β ∈ F = K(α1)(α2) . . . (αn) element uchun koeffit- siyentlari K maydondan olingan shunday g(x1, x2, . . . , xn) ko‘phad topilib, β = g(α1, α2, . . . , αn) tenglik o‘rinli.
Isbot. Tasdiqning isbotini n uchun induksiya metodini qo‘llab amalga oshi- ramiz. n = 1 bo‘lgan holda tasdiqning o‘rinli ekanligi 6.1.1-natijadan kelib chiqadi. Faraz qilaylik, L = K(α1)(α2) . . . (αn−1) maydon uchun tasdiq o‘rinli bo‘lsin. Ixti- yoriy β ∈ F elementni qarasak, F = L(αn) bo‘lganligi uchun, L maydonda shunday h(x) ko‘phad topilib, β = h(αn).
Aytaylik, h(x) = γ0xm + γ1xm−1 + · · · + γm bo‘lsin, bu yerda γ0, . . . , γm ∈ L. Induksiya faraziga ko‘ra har bir γi uchun gi(x1, x2, . . . , xn−1) ko‘phad topilib, γi = gi(α1, α2, . . . , αn−1). Bundan esa,
n
g(x1, x2, . . . , xn) = g0(x1, x2, . . . , xn−1)xm+
n
+g1(x1, x2, . . . , xn−1)xm−1 + · · · + gm(x1, x2, . . . , xn−1) ko‘phad uchun β = g(α1, α2, . . . , αn) ekanligi kelib chiqadi.
6.1.3-natija. Ixtiyoriy algebraik hosil qilingan kengaytma murakkab algebraik ken- gaytma bo‘ladi, ya’ni K(α1, α2, . . . , αn) = K(α1)(α2) . . . (αn).
Isbot. Induktiv tarzda aniqlanuvchi quyidagi maydonlarni qaraymiz
L0 = K, L1 = L0(α1), L2 = L1(α2), . . . , Ln = Ln−1(αn).
Har bir αi element K maydonda algebraik bo‘lganligi uchun ular Li−1 may- donda ham algebraik bo‘ladi. Demak, Li ⊂ Li+1 kengaytmalarning barchasi sodda algebraik kengaytmalar bo‘lib, Ln = K(α1)(α2) . . . (αn). 6.1.3-tasdiqqa ko‘ra, Ln maydonning ixtiyoriy β elementi α1, α2, . . . , αn elementlar orqali qandaydir ko‘phad yordamida ifodalanadi. Bundan esa, Ln ⊂ K(α1, α2, . . . , αn) ekanligiga ega bo‘lamiz.
Ikkinchi tomondan esa, Ln barcha α1, α2, . . . , αn elementlarni o‘z ichiga olgan- ligi uchun K(α1, α2, . . . , αn) ⊂ Ln. Demak, K(α1, α2, . . . , αn) = K(α1)(α2) . . . (αn).
Bizga K ⊂ F kengaytma berilgan bo‘lib, L maydon uchun K ⊂ L ⊂ F muno- sabat o‘rinli bo‘lsa, u holda L maydon K va F maydonlarning orasida joylashgan maydon deyiladi. Ma’lumki, α1, α2, . . . , αn ∈ F elementlar uchun
K(α1) ⊂ K(α1, α2) ⊂ · · · ⊂ K(α1, α2, . . . , αn)
munosabat o‘rinli.
Dostları ilə paylaş: |
