O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.4.1-teorema. Butunlik sohasining ixtiyoriy tub elementi keltirilmas element bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, R butunlik sohasi bo‘lib, p ∈ R tub element uchun p = ab bo‘lsin. U holda p | ab bo‘lib, bundan esa p | a yoki p | b ekanligi kelib chiqadi. Agar p | a bo‘lsa, u holda a = pq bo‘lib, p = ab = pqb, ya’ni p(1 − qb) = 0 kelib chiqadi. R soha butunlik sohasi va p /= 0 bo‘lganligi uchun 1 − qb = 0 tenglikni, ya’ni b elementning teskarilanuvchi ekanligini hosil qilamiz. Xuddi shunga o‘xshab, agar p | b bo‘lsa, u holda a element teskarilanuvchi bo‘ladi. Demak, p keltirilmas element.
5.4.1-teoremaning teskarisi o‘rinli emasligi 5.4.2-misoldan ko‘rinadi. Ya’ni bu- tunlik sohasining keltirilmas elementi tub element bo‘lishi shart emas.
Quyidagi teoremada esa, bosh ideallar sohasining keltirilmas va tub elementlari ustma-ust tushishi ko‘rsatiladi.
5.4.2-teorema. Bosh ideallar sohasining p elementi keltirilmas bo‘lishi uchun uning tub element bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Ushbu teoremaning yetarliligi 5.4.1-teoremadan bevosita kelib chiqqan- ligi uchun uning zaruriyligini isbotlaymiz. Aytaylik, R bosh ideallar sohasining p keltirilmas elementi uchun p | ab bo‘lsin, u holda ab = rp. Ikkinchi tomondan esa R bosh ideallar sohasi bo‘lganligi uchun ⟨p, b⟩ ideal qandaydir ⟨d⟩ ideal bilan ustma-ust tushadi. Bu esa, d | p, ya’ni qandaydir q ∈ R element uchun p = dq ekanligini bildiradi. p element keltirilmas ekanligidan d va q elementlardan hech bo‘lmaganda bittasi teskarilanuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Agar d teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda ⟨p, b⟩ = ⟨d⟩ = R bo‘lib, bundan esa R
halqaning ixtiyoriy elementi p va b lar orqali ifodalanishi kelib chiqadi. Xususan, qandaydir s, t ∈ R elementlar uchun 1 = sp + tb. Bundan esa,
a = a(sp + tb) = asp + atb = asp + trp = (as + tr)p
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu esa a element p ga bo‘linishini bildiradi.

Agar q teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda d = pq⁻¹ bo‘lib, d ∈ ⟨p⟩ ekanligi kelib chiqadi. U holda ⟨p, b⟩ = ⟨p⟩ bo‘lib, b ∈ ⟨p⟩ ekanligi, ya’ni b element p ga bo‘linishi kelib chiqadi. Shunday qilib, biz p | ab ekanligidan p | a yoki p | b kelib chiqishini ko‘rsatdik. Demak, p tub element.

2. Maksimal, birlamchi(prime) va primar(primary) ideallar

Endi halqaning bir qancha maxsus ideallari tushunchalarini keltirib, ularning xos- salarini o‘rganamiz. Dastlab, birlamchi(prime) ideal tushunchasini kiritamiz. Ta’kidlab o‘tish joizki, birlamchi ideal tushunchasining bir qancha ekvivalent ta’riflari mavjud bo‘lib, biz asosiy ta’rif sifatida quyidagini keltiramiz.