O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.6.3-ta’rif. O‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiruvchi halqa
Nyoter halqasi deb ataladi.
Kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiruvchi halqa Artin halqasi deb ataladi.
Yuqoridagi 5.6.1-misoldan ko‘rinadiki, butun sonlar halqasi Nyoter halqasi bo‘lib, Artin halqasi bo‘lmaydi. Bundan tashqari, ixtiyoriy chekli halqalar ham Nyoter, ham Artin halqasiga misol bo‘ladi. Quyidagi misolda esa, Nyoter halqasi ham Artin halqasi ham bo‘lmaydigan halqaga misol keltiramiz.
5.6.2-misol. [0, 1] kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiyalar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallarini
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (f · g)(x) = f (x)g(x)
kabi aniqlasak, u holda C[0, 1] to‘plam ushbu amallarga nisbatan halqa bo‘lib, bu halqa Nyoter halqasi ham Artin halqasi ham bo‘lmaydi. Chunki, ushbu halqada
1
A_n = {f ∈ C[0, 1] | f (x) = 0, 0 ≤ x ≤ _n},
1
B_n = {f ∈ C[0, 1] | f (x) = 0, _n ≤ x ≤ 1},
ideallarni qarasak, A₁ ⊂ A₂ ⊂ · · · ⊂ A_s ⊂ . . . cheksiz o‘suvchi zanjir bo‘lsa,
B₁ ⊃ B₂ ⊃ · · · ⊃ B_s ⊃ . . . esa cheksiz kamayuvchi zanjir bo‘ladi.
Ta’kidlash joizki, biz Nyoter va Artin halqalarining ta’riflarini halqaning ikki yoqlama ideallaridan iborat zanjirlar orqali kiritdik. Faqat chap (o‘ng) ideallardan iborat zanjirlar orqali chap (o‘ng) Nyoter va Artin halqalari ta’riflarini yuqoridagi kabi kiritish mumkin.

Endi Nyoter halqalarining xususiyatini ta’riflovchi quyidagi teoremani kelti- ramiz.
5.6.1-teorema. Berilgan R halqa uchun quyidagilar ekvivalent:

1. 
   
   R halqa Nyoter halqasi.
   
2. 
   
   R halqaning ixtiyoriy ideallar sinfi maksimal elementga ega.
   
3. 
   
   R halqaning ixtiyoriy ideali hosil qiluvchilari soni chekli bo‘lgan ideal.
   

Isbot. 1) ⇒ 2) Aytaylik, R halqa Nyoter halqasi bo‘lib, uning I ideallar sinfi berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy A₁ ∈ I elementni, ya’ni R halqaning I sinfida yotadigan ixtiyoriy idealini olaylik. Agar A₁ ideal I sinfning maksimal elementi bo‘lmasa, uni o‘z ichiga oluvchi A₂ ideal mavjud. Xuddi shunday, agar A₂ ideal ham maksimal element bo‘lmasa, u holda uni o‘z ichiga oluvchi A₃ ideal mavjud. Ushbu jarayonni davom ettirish natijasida A₁ ⊂ A₂ ⊂ A₃ ⊂ · · · ⊂ A_k ⊂ . . . o‘suvchi zanjir hosil qilamiz. R halqa Nyoter halqasi bo‘lganligi uchun shunday n soni topilib, A_n = A_n+1 = . . . o‘rinli bo‘ladi. Ushbu A_n ideal esa, I ideallar sinfining maksimal elementi bo‘ladi.

2. 
   
   ⇒ 3) Aytaylik, R halqadagi ixtiyoriy I ideallar sinfi maksimal elementga ega bo‘lib, R halqaning ixtiyoriy A ideali berilgan bo‘lsin. U holda a₁ ∈ A element uchun ⟨a₁⟩ idealni qaraymiz. Agar ⟨a₁⟩ = A bo‘lsa, u holda A ideal bitta hosil qiluvchili ideal bo‘lib, tasdiq isboti kelib chiqadi. Agar ⟨a₁⟩ ⊂ A bo‘lsa, u holda
   

a₂ ∈ A, a₂ ∈/ ⟨a₁⟩ elementni olib, ⟨a₁, a₂⟩ idealni qaraymiz. Ushbu jarayonni
davom ettirgan holda
⟨a₁⟩ ⊂ ⟨a₁, a₂⟩ ⊂ · · · ⊂ ⟨a₁, a₂, . . . , a_n⟩ ⊂ . . .
ideallarni hosil qilamiz. Agar I = {⟨a₁⟩, ⟨a₁, a₂⟩, . . . ⟨a₁, a₂, . . . , a_n⟩, . . . } ideallar sinfini qarasak, ushbu sinf maksimal elementga ega. Ushbu maksimal element
⟨a₁, a₂, . . . , a_s⟩ uchun ⟨a₁, a₂, . . . , a_s⟩ = A munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, A
ideal chekli sondagi elementlar orqali hosil qilinadi.

2. 
   

   S
   ⇒ 1) Aytaylik, R halqaning ixtiyoriy idealining hosil qiluvchilari soni chekli bo‘lib, A₁ ⊂ A₂ ⊂ · · · ⊂ A_s ⊂ . . . o‘suvchi zanjir berilgan bo‘lsin. U holda

   
   

A = ∞ A_i to‘plam ham R halqaning ideali bo‘lib, uning ham hosil qiluvchilari
i=1
soni chekli bo‘ladi. Aytaylik, A = ⟨a₁, a₂, . . . , a_n⟩ bo‘lsin. U holda a_j element
qandaydir A_ij elementga tegishli ekanligidan 1, 2, . . . , n sonlari uchun i₁, i₂, . . . , i_n
sonlarini hosil qilamiz. Agar k = max{i₁, i₂, . . . , i_n} deb olsak, A_k = A bo‘lib,

A_k = A_k+1 = . . . munosabat bajariladi. Ya’ni, R halqa Nyoter halqasi.
Ta’kidalsh joizki, Artin halqalari uchun 5.6.1-teoremaning analogi quyidagicha bo‘ladi.