O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.6.1-tasdiq. C(a) to‘plam uchun quyidagilar o‘rinli:
1) Ixtiyoriy a ∈ G element uchun C(a) to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.

T
2) Z(G) =

a∈G
C(a).

3. 
   
   C(a) = G bo‘lishi uchun a ∈ Z(G) bo‘lishi zarur va yetarli.
   
4. 
   
   Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun C(b⁻¹ ∗ a ∗ b) = b⁻¹ ∗ C(a) ∗ b.
   

Isbot. 1) Agar b, c ∈ C(a) bo‘lsa, u holda a ∗ b = b ∗ a va a ∗ c = c ∗ a
ekanligidan,
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c = (b ∗ a) ∗ c = b ∗ (a ∗ c) = b ∗ (c ∗ a) = (b ∗ c) ∗ a
tenglikni hosil qilamiz, ya’ni b ∗ c ∈ C(a).
Bundan tashqari, a ∗ b = b ∗ a tenglikdan a ∗ b⁻¹ = b⁻¹ ∗ a ekanligi ham osongina kelib chiqadi. Demak, C(a) qism gruppa.
Ikkinchi va uchinchi xossalarning o‘rinli ekanligi ta’rifdan to‘g‘ridan-to‘g‘ri ke- lib chiqadi.
4) Ma’lumki, x ∈ C(b⁻¹ ∗ a ∗ b) bo‘lishi uchun
x ∗ (b⁻¹ ∗ a ∗ b) = (b⁻¹ ∗ a ∗ b) ∗ x
tenglikning bajarilishi zarur va yetarli. Ushbu tenglik esa (b∗x∗b⁻¹)∗a = a∗(b∗x∗ b⁻¹) tenglikka teng kuchli bo‘lib, bundan esa, b∗x∗b⁻¹ ∈ C(a) ⇔ x ∈ b⁻¹∗C(a)∗b bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, tenglikning chap tomoni o‘ng tomoniga qism, o‘z navbatida o‘ng tomoni chap tomoniga qism bo‘ladi.
Endi G gruppaning biror M qism to‘plami va H qism gruppasi uchun sentra- lizator va normalizator tushunchalarini kiritamiz.

1.6.1-ta’rif.

C_H(M ) = {a ∈ H | ax = xa, ∀x ∈ M }
to‘plam M ning H qism gruppa bo‘yicha sentralizatori
N_H(M ) = {a ∈ H | aMa⁻¹ = M }
to‘plam esa normalizatori deb ataladi.

Odatda M qism to‘plamning G gruppa bo‘yicha sentralizatori va normalizatori qaralganda C_G(M ) va N_G(M ) belgilashlar o‘rniga C(M ) va N (M ) belgilashlardan foydalaniladi. Agar M to‘plam bitta elementdan iborat bo‘lsa, u holda sentrali- zator va normalizatorlar ustma-ust tushub, H = G bo‘lganda esa, bu to‘plamlar elementning sentaralizatoriga teng bo‘ladi.

1.6.2-tasdiq. Normalizator uchun quyidagilar o‘rinli:

• 
  
  N (M ) to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.
  
• 
  
  Agar H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lsa, N (H) = G bo‘lishi uchun
  

H a G bo‘lishi zarur va yetarli.

• 
  
  Agar H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lsa, u holda H a N (H).
  
• 
  
  C_H(M ) a N_H(M ).
  

Endi kommutator va kommutant tushunchalarini kiritamiz. Berilgan G grup- paning a, b elementlari kommutatori deb aba⁻¹b⁻¹ elementga aytiladi va [a, b] kabi belgilanadi. Ma’lumki, [a, b] = e bo‘lishi uchun ab = ba bo‘lishi zarur va yetarli. Bundan tashqari, kommutator uchun quyidagi elementar xossalar o‘rinli.
1. [a, b]⁻¹ = [b, a];

2. [a, b]ba = ab;
3. c⁻¹[a, b]c = [c⁻¹ac, c⁻¹bc];
4. [ab, c] = a[b, c]a⁻¹[a, c];
5. [c, ab] = [c, a]a[c, b]c⁻¹.