O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.2.1-ta’rif. Hosil qiluvchi elementlari a, b bo‘lib,
ord(a) = 4, a² = b² va b · a = a³ · b
bo‘lgan G gruppaga kvaternion gruppasi deyiladi.
Boshqacha aytganda, kvaternion gruppasi {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k} element- lardan tashkil topib, i² = j² = k² = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j shartlarni qanoatlantiruvchi gruppadir.
Quyidagi misolda matritsalar gruppasining Q₈ gruppaga izomorf bo‘lgan qism gruppasini ko‘rsatamiz.
2.2.4-misol. Aytaylik, G ⊆ GL₂(C) quyidagi matritsalardan hosil qilunivchi gruppa bo‘lsin
A = ^{0 1} va B = ^{0 i} .

U holda ord(A) = 4 va


Bundan tashqari,
−1 0 i 0
A² = B² = ^{−1 0} .
0 −1

BA = ^{0 i}
_{0 1} = _{−i 0}

i 0 −1 0 0 i
va

1 0

i 0
_{A3B =} 0 −1 0 i
= _{−i 0} .

0 i
Ya’ni, BA = A³B, demak G = ⟨A, B⟩ kvaternion gruppasi.
Kvaternion gruppasi elementlarining umimiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘lib,
Q₈ = {e, a, a², a³, b, a · b, a² · b, a³ · b},
ord(a²) = 2 va ord(a) = ord(a³) = ord(b) = ord(a·b) = ord(a²·b) = ord(a³·b) = 4. Endi Q₈ gruppaning barcha qism gruppalarini aniqlaymiz. Ta’kidlash joizki,
uning xos qism gruppalari quyidagilardan iborat:
H₁ = {e, a²}, H₂ = {e, a, a², a³},

H₃ = {e, a · b, a², a³ · b}, H₄ = {e, b, a², a² · b}.

Bunda [Q₈ : H₂] = [Q₈ : H₃] = [Q₈ : H₄] = 2 bo‘lganligi uchun H₂, H₃ va H₄ qism gruppalar Q₈ ning normal bo‘luvchilari bo‘ladi. Bundan tashqari, H₁ ning ham normal qism gruppa bo‘lishini tekshirish qiyin emas. Demak, Q₈ kvater- nion gruppasining ixtiyoriy qism gruppasi normal bo‘lar ekan. Ushbu teoremada izomorfizm aniqligida D₄ va Q₈ dan boshqa tartibi 8 ga teng bo‘lgan nokommu- tativ grupppa mavjud emasligini isbotlaymiz.
2.2.3-teorema. Izomorfizm aniqligida tartibi 8 ga teng bo‘lgan 2 ta nokommutativ gruppa mavjud.
Isbot. Biz yuqorida D₄ va Q₈ gruppalarning tartibi 8 ga teng bo‘lgan nokom- mutativ grupppalar ekanligini aytib o‘tdik. Bundan tashqari Q₈ gruppada tartibi 4 ga teng bo‘lgan elementlar 6 ta bo‘lsa, D₄ gruppada esa bunday elementlar 2 tani tashkil qiladi. Demak, D₄ va Q₈ gruppalar izomorf emas.
Endi tartibi 8 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy G nokommutativ gruppani olaylik. |G|

∈
juft son bo‘lganligi uchun, G da tartibi 2 ga teng bo‘lgan u G element mavjud, ya’ni u² = e. Ma’lumki, G gruppaning qolgan elementlari tartibi 2, 4 va 8 ga teng bo‘lishi mumkin. Agar gruppaning ixtiyoriy elementi kvadrati e ga teng bo‘lsa, u holda G kommutativ gruppa bo‘ladi. Bundan tashqari, gruppada tartibi 8 ga teng element mavjud bo‘lsa, u holda G siklik bo‘ladi. Demak, G gruppada tartibi 4 ga teng bo‘lgan a ∈ G element mavjud.

Aytaylik, H = {e, a, a², a³} bo‘lsin, u holda [G : H] = 2 bo‘lganligi uchun
H a G. Demak, b ∈/ H element uchun G = H ∪ Hb bo‘lib, H ∩ Hb = ∅. Ya’ni,
G = {e, a, a², a³, b, a · b, a² · b, a³ · b} = ⟨a, b⟩.

2 3
H a G bo‘lganligi uchun b · a · b⁻¹ ∈ H bo‘lib, bundan esa, b · a · b⁻¹ element e, a, a va a elementlardan biriga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Quyida bu element e, a, a² elementlarga teng bo‘lmasligini ko‘rsatamiz. Chunki, agar

• 
  
  b · a · b⁻¹ = e bo‘lsa, u holda a = e,
  
• 
  
  b · a · b⁻¹ = a bo‘lsa, u holda a · b = b · a, ya’ni G kommutativ,
  
• 
  
  b · a · b⁻¹ = a² bo‘lsa, u holda a² = e.
  

Ya’ni har uchala holda ham ziddiyatga keldik. Demak, b · a · b⁻¹ = a³ bo‘ladi, ya’ni b · a = a³ · b.

2
Bundan tashqari, |G/H| = 2 bo‘lganligi uchun ord(Hb) = 2 bo‘lib, b² ∈ H ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi kabi b ham H ning 4 ta elementidan biriga teng bo‘lishi kerak. Agar b² = a yoki b² = a³ bo‘lsa, u holda ord(b) = 8 bo‘lib, G gruppa kommutativ bo‘lib qoladi. Bu esa, ziddiyat. Demak, b² = e yoki b² = a²

bo‘lishi kerak. Ushbu ikkala holda ham G = ⟨a, b⟩ gruppa nokommutativ gruppa bo‘lib, mos ravishda D₄ va Q₈ gruppalarga izomorf bo‘ladi.