O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.3.4-misol. D₄ gruppaning ichki avtomorfizmlar gruppasi Inn(D₄) ni toping.
^{Yechish. 2.3.9-teoremaga ko‘ra Inn(D4) ∼}= ^{D4/Z(D4) bo‘lib, o‘z navbatida}
|Z(D₄)| = 2 ekanligidan D₄/Z(D₄) faktor gruppaning tartibi 4 ga tengligi kelib chiqadi, ya’ni
D₄/Z(D₄) = {e · Z(D₄), a · Z(D₄), b · Z(D₄), (a · b) · Z(D₄)}.
Bundan esa, b² ∈ Z(D₄), a² = e va (a · b)² = e ekanligini hisobga olsak,
D₄/Z(D₄) faktor gruppaning birlik elementdan farqli barcha elementlarining tar- ^{tibi 2 ga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, Inn(D4) ∼}= ^{D4/Z(D4) ∼}= ^{K4 ekanli-}
gini hosil qilamiz.

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      Aytaylik, G = (R^∗, ·) noldan farqli haqiqiy sonlar to‘plamining multiplikativ ^{gruppasi va uning T = {1, −1} normal bo‘luvchisi berilgan bo‘lsin. G/T ∼}= (R⁺, ·) ekanligini isbotlang, bu yerda (R⁺, ·) barcha musbat haqiqiy sonlar
      

to‘plamining multiplikativ gruppasi.

2. 
   
   ^{Ixtiyoriy n natural son uchun Z/nZ ∼}= ^{Zn ekanligini isbotlang.}
   
3. 
   
   ^{Isbotlang: 4Z/12Z ∼}= ^Z3.
   
4. 
   
   ^{Isbotlang: 8Z/56Z ∼}= ^Z7.
   
5. 
   
   ^{Ixtiyoriy o‘zaro tub m va n natural sonlari uchun mZ/mnZ ∼}= ^{Zn ekanligini} isbotlang.
   

6. 
   
   Shunday G gruppa topingki, uning A va B normal qism gruppalari uchun
   

^{A ∼}= ^{B va G/A ∼/}= ^{G/B bo‘lsin.}

7. 
   
   Z₈ gruppa Z₁₅ gruppaning gomomorf obrazi emasligini ko‘rsating.
   

8. 
   
   Agar Z₁₅ gruppa G gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsa, u holda G gruppa indeksi 5 va 3 ga teng bo‘lgan normal qism gruppalarga ega ekanligini isbot- lang.
   

9. 
   
   Isbotlang:
   
   • 
     
     ^{Aut(Z5) ∼}= ^Z4.
     
   • 
     
     ^{Aut(Z8) ∼}= ^{K4, bu yerda K4 − 4-tartibli Kleyn gruppasi.}
     
   • 
     
     ^{Aut(Zn) ∼}= ^Un.
     
10. 
    
    ^{Inn(S3) ∼}= ^{Aut(S3) ∼}= ^{S3 ekanligini isbotlang.}
    
11. 
    
    Aut(S₄) ni toping.
    

12. 
    
    Aut(K₄) ni toping.
    

13. 
    
    Aut(D₄) ni toping.
    

14. 
    
    Aut(Q₈) ni toping.
    

15. 
    
    (Q, +) gruppaning barcha avtomorfizmlarini toping.
    

16. 
    
    Agar G gruppaning markazi faqat birlik elementdan iborat bo‘lsa, u holda Aut(G) gruppaning markazi ham birlik avtomorfizmdan iborat ekanligini is- botlang.
    

17. 
    
    D₄ gruppaning shunday H va K qism gruppalarini topingki, K a H va
    

H a D₄ bo‘lib, lekin K qism gruppa D₄ da normal bo‘lmasin.

18. 
    
    D₄ gruppaning barcha gomomorf akslarini toping.
    

19. 
    
    Q₈ gruppaning barcha gomomorf akslarini toping.
    

20. 
    
    Ixtiyoriy qism gruppasi normal bo‘lgan, kommutativ bo‘lmagan gruppaga misol keltiring.
    

4. Gruppalarning to‘gri va yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi

Ushbu paragrafda gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasini kiritamiz. Gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi yuqori tartibli gruppalarni kichik tartibli grup- palar orqali o‘rganish imkonini beradi. Bu orgali gruppalarning ba’zi umumiy xossalarini ham o‘rganish mumkin. Dastlab, quyidagi misolni qarab chiqamiz.
2.4.1-misol. Bizga (G₁, ∗₁) va (G₂, ∗₂) gruppalar berilgan bo‘lsin. Ushbu to‘plamlarning G₁ × G₂ dekart ko‘paytmasida quyidagicha binar amal aniqlaymiz:
(a₁, a₂) ∗ (b₁, b₂) = (a₁ ∗₁ b₁, a₂ ∗₂ b₂).
Ushbu amalga nisbatan G₁ × G₂ dekart ko‘paytmaning gruppa tashkil qilishini tekshirish qiyin emas. Haqiqatdan ham, ushbu amal binar amal ekanligi va as- sosiativlik shartining bajarilishi osongina kelib chiqib, G₁ × G₂ to‘plamda (e₁, e₂) element birlik element vazifasini bajaradi, bu yerda e₁ va e₂ mos ravishda G₁ va G₂ gruppalarning birlik elementlari. Ixtiyoriy (a₁, a₂) elementning teskarisi esa,

(a⁻₁ ¹, a⁻₂ ¹) bo‘ladi, bu yerda a⁻₁ ¹

va a⁻₂ ¹
elementlar mos ravishda G₁ va G₂ grup-

palardagi a₁ va a₂ elementlarning teskarilari.
Endi yuqoridagi misolni umumlashtirgan holda ixtiyoriy sondagi G₁, G₂, . . . , G_n gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasini kirita- miz. Buning uchun
G = G₁ × G₂ × · · · × G_n = {(a₁, a₂, . . . , a_n) | a_i ∈ G_i}
to‘plamda ∗ binar amalni
(a₁, a₂, . . . , a_n) ∗ (b₁, b₂, . . . , b_n) = (a₁ · b₁, a₂ · b₂, . . . , a_n · b_n)
kabi aniqlaymiz, bu yerda shartli ravishda G_i gruppalarning barchasidagi binar amallar bir xil · kabi belgilangan. G to‘plam ushbu amalga nisbatan gruppa tashkil qilib, u G₁, G₂, . . . , G_n gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasining birlik elementi (e₁, e₂, . . . , e_n) bo‘lib, (a₁, a₂, . . . , a_n)⁻¹ = (a₁⁻¹, a_n⁻¹, . . . , a⁻_n ¹) bo‘ladi. Quyidagi teoremada gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasining ba’zi muhim xossalarini
keltiramiz.

2.4.1-teorema. Aytaylik, G₁, G₂, . . . , G_n gruppalar berilgan bo‘lib, G ularning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi bo‘lsin. H_i = {(e₁, e₂, . . . , e_i−1, a_i, e_i+1, . . . , e_n) | a_i ∈ G_i} to‘plamlar uchun quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   Ixtiyoriy i (1 ≤ i ≤ n) uchun H_i to‘plam G gruppaning normal qism gruppasi bo‘ladi.
   

2. 
   
   Ixtiyoriy a ∈ G elementni yagona ravishda a = h₁ ∗ h₂ ∗ · · · ∗ h_n kabi yozish mumkin, bu yerda h_i ∈ H_i.
   

3) G = H₁ ∗ H₂ ∗ · · · ∗ H_n.
4) H_i ∩ (H₁ ∗ · · · ∗ H_i−1 ∗ H_i+1 ∗ · · · ∗ H_n) = {e}.
Isbot. 1) Aytaylik, a = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n), b = (e₁, . . . , b_i, . . . , e_n) ∈ H_i
bo‘lsin, u holda
a ∗ b⁻¹ = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) ∗ (e₁, . . . , b_i, . . . , e_n)⁻¹
= (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) ∗ (e₁, . . . , b_i⁻¹, . . . , e_n)
= (e₁, . . . , a_i · b_i⁻¹, . . . , e_n) ∈ H_i.
Bundan esa, H_i to‘plam G gruppaning qism gruppasi ekanligi kelib chiqadi. Endi uning normal qism gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Ixtiyoriy g = (g₁, g₂, . . . , g_n) ∈ G element uchun
g ∗ a ∗ g⁻¹ = (g₁, g₂, . . . , g_n) ∗ (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) ∗ (g₁, g₂, . . . , g_n)⁻¹
= (g₁, . . . , g_i · a_i, . . . , g_n) ∗ (g₁⁻¹, g₂⁻¹, . . . , g_n⁻¹)
= (e₁, . . . , g_i · a_i · g_i⁻¹, . . . , e_n) ∈ H_i.
Demak, H_i normal qism gruppa.

2. 
   
   Ixtiyoriy a = (a₁, . . . , a_n) ∈ G element uchun h_i = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) ∈ H_i, 1 ≤ i ≤ n elementlarni olsak a = h₁ ∗ h₂ ∗ · · · ∗ h_n bo‘ladi. Endi a elementning bunday ifodasini yagona ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, qandaydir k_i ∈ H_i elementlar uchun a = k₁ ∗ k₂ ∗ · · · ∗ k_n bo‘lsin, u holda k_i = (e₁, . . . , b_i, . . . , e_n) bo‘lib,
   

a = (a₁, a₂ . . . , a_n) = k₁ ∗ k₂ ∗ · · · ∗ k_n = (b₁, b₂, . . . , b_n) bo‘ladi. Bundan esa, a_i = b_i, ya’ni h_i = k_i ekanligi kelib chiqadi.

2. 
   
   G = H₁ ∗ H₂ ∗ · · · ∗ H_n ekanligi (ii) dan to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.
   
3. 
   
   Aytaylik, a ∈ H_i ∩ (H₁ ∗ · · · ∗ H_i−1 ∗ H_i+1 ∗ · · · ∗ H_n) bo‘lsin, u holda
   

a ∈ H_i va a ∈ H₁ ∗ · · · ∗ H_i−1 ∗ H_i+1 ∗ · · · ∗ H_n.
Demak, birinchi tomondan a = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n), ikkinchi tomondan esa ushbu a element
h₁, . . . , h_i, h_i+1, . . . , h_n
elementlarning ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalanadi, bu yerda a_i ∈ G_i va h_j ∈ H_j,
ya’ni h_j = (e₁, . . . , b_j, . . . , e_n). Demak,
a = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) = h_i ∗ . . . h_i−1 ∗ h_i+1 ∗· · · ∗ h_n = (b₁, . . . , b_i−1, e_i, b_i+1, . . . , b_n).
Bundan esa, a_i = e_i va b_j = e_j ekanligi kelib chiqadi, ya’ni

H_i ∩ (H₁ ∗ · · · ∗ H_i−1 ∗ H_i+1 ∗ · · · ∗ H_n) = {e}.
Endi gruppada normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi tushun- chasini kiritamiz. Ichki to‘g‘ri ko‘paytma tushunchasini kiritishga yuqoridagi teo- remada G gruppaning kesishmalari birlik elementlardan iborat bo‘lgan H_i normal qism gruppalarning ko‘paytmasi ko‘rininshda ifodalanishi asosiy turtki bo‘lgan deyish mumkin.