O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

3.2.1-teorema. Ixtiyoriy erkin abel gruppasi cheksiz siklik gruppalarning to‘g‘ri ^{yig‘indisi shaklida ifodalanadi, ya’ni G ∼}= ^{Z ⊕ Z ⊕ · · · ⊕ Z.}
Isbot. Aytaylik, X = {a₁, a₂, . . . , a_k} to‘plam G gruppaning bazisi bo‘lsin. U holda a₁, a₂, . . . , a_k elementlar chiziqli erkli bo‘lganligi uchun n_ia_i = 0a₁ + · · · + n_ia_i + · · · + 0a_k = 0 tenglikdan n_i = 0 kelib chiqadi. Bu esa, a_i elementning tartibi cheksizga teng ekanligini bildiradi. Demak, G gruppa ⟨a_i⟩, 1 ≤ i ≤ k siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi, ya’ni G = ⟨a₁⟩ ⊕ ⟨a₂⟩ ⊕ · · · ⊕
^{⟨ak⟩. Cheksiz siklik gruppalar Z ga izomorf bo‘lganligi uchun G ∼}= ^{Z ⊕ Z ⊕ · · · ⊕ Z}
ekanligini hosil qilamiz.
Ta’kidlash joizki, erkin abel gruppalarida turli xil bazislar mavjud bo‘lishi mumkin. Masalan, Z ⊕ Z gruppada {(1, 0), (0, 1)} bazisdan tashqari
{(1, 0), (0, −1)}, {(−1, 0), (0, 1)} va {(−1, 0), (0, −1)} bazislar ham mavjud.
Quyidagi teoremada erkin abel gruppasining turli bazislaridagi elementlari soni bir xil bo‘lishini ko‘rsatamiz.
3.2.2-teorema. Agar G erkin abel gruppasining {a₁, a₂, . . . , a_k} va {b₁, b₂, . . . , b_s}
bazislari berilgan bo‘lsa, u holda k = s bo‘ladi.
Isbot. Dastlab, {a₁, a₂, . . . , a_k} elementlar to‘plami bazis ekanligidan foy-

`

^{G/(2G) ∼}= ^{Z/2Z ⊕ Z/2Z ⊕ · · · ⊕ Z/2Z ∼}= ^Z_{` 2} ^{⊕ Z2} _˛^⊕_¸ ^{· · · ⊕ Z}_x2 ^.

k ta

k ta
^{dalansak, G ∼}= ^{Z ⊕ Z ⊕}_˛¸^{· · · ⊕ Z}_x ^{kelib chiqadi. U holda 2G ∼}= ²_`^{Z ⊕ 2Z} _˛^⊕_¸ ^{· · · ⊕ 2Z}_x

bo‘lib,

` k˛¸ta
^x k ta

Demak, |G/2G| = 2^k. Ikkinchi tomondan esa, {b₁, b₂, . . . , b_s} ham bazis bo‘lganligi uchun |G/2G| = 2^s ekanligini hosil qilamiz. Bundan esa, k = s kelib chiqadi.

Erkin abel gruppasining bazisidagi elementlar soniga gruppaning rangi deb ataladi va rk(G) kabi belgilanadi. Rangi k ga teng bo‘lgan erkin abel gruppasini esa F_k kabi belgilaymiz. Quyida ba’zi zaruriy lemmalarni keltirib o‘tamiz.