O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Gruppalarga oid qo‘shimcha tushuncha va teoremalar
Biz ushbu bobda gruppalar nazariyasini chuqurroq o‘rgangan holda, gruppalar nazariyasining muhim tushuncha va teoremalarini keltiramiz. Ma’lumki, grup- palar nazariyasi vujudga kelishida o‘rin almashtirishlar gruppasining aniqlan- ishi asosiy omil hisoblanadi. Chunki, dastlabki o‘rganilgan nokommutativ grup- palar aynan o‘rin almashtirishlar gruppasidir. Keyinchalik gruppaning abstrakt ta’rifi va undagi tushunchalar kiritilishi ham aynan o‘rin almashtirishlar grup- pasining xususiyatlarini o‘rganish uchun xizmat qilgan. Gruppaning to‘plamga ta’siri tushunchasi aynan biror to‘plamdagi o‘rin almashtirishlar gruppasi bilan shu to‘plam orasidagi bog‘lanishni aniqlash natijasida kiritiladi. Biz ushbu bobda gruppaning to‘plamga ta’siri tushunchasini kiritib, uning xossalarini o‘rganish bi- lan birga, gruppalar nazariyasida asosiy rol o‘ynovchi Silov teoremalarini keltirib o‘tamiz. Bundan tashqari ushbu bobda nilpotent va yechiluvchan gruppalar haqida ham qisqacha to‘xtalib o‘tiladi.

1. Gruppaning to‘plamga ta’siri

O‘rin almashtirishlar gruppasi bu biror X to‘plamni X to‘plamga o‘tkazuvchi barcha o‘zaro bir qiymatli akslantirishlar to‘plamidan iborat bo‘lib, u S(X) kabi belgilanadi. Agar ∀f ∈ S(X) va ∀a ∈ X elementlar uchun, (f, a) → f (a) moslikni qarasak, biz S(X) × X to‘plamni X to‘plamga akslantiruvchi amal aniqlagan bo‘lamiz. Ushbu aniqlangan amal kabi ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan X to‘plam va ixtiyoriy G gruppa uchun gruppaning to‘plamga ta’siri tushunchasi kiritiladi.
Bizga G gruppa va bo‘sh bo‘lmagan X to‘plam berilgan bo‘lib, G×X to‘plamni X to‘plamga akslantiruvchi ٨ : G × X → X amal aniqlangan bo‘lsin. Ixtiyoriy g ∈ G va x ∈ S elementlarning ushbu amal yordamida aniqlangan g ٨ x qiymati
o‘rniga (g, x) yoki gx belgilashlardan ham foydalaniladi.
4.1.1-ta’rif. Agar ٨ : G × X → X amal aniqlangan bo‘lib, quyidagi shartlar
105

bajarilsa,

• 
  
  (g₁ · g₂) ٨ x = g₁ ٨ (g₂ ٨ x), bu yerda x ∈ X, g₁, g₂ ∈ G,
  
• 
  
  e ٨ x = x, bu yerda e ∈ G gruppaning birlik elementi,
  

u holda G gruppaning X to‘plamga (chap) ta’siri aniqlangan deyiladi.
Agar G gruppaning X to‘plamga (chap) ta’siri aniqlangan bo‘lsa, u holda G gruppa X to‘plamga ta’sir qiladi deyiladi, X to‘plam esa G-to‘plam deb ataladi. Ushbu misolda yuqorida ta’kidlab o‘tilgan S(X) o‘rin almashtirishlar grup-
pasining X to‘plamga ta’siri aniqlanishini ko‘rsatamiz.