O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

u
x
x
Bu hisoblash jarayonini xuddi shu tartibda 
k
= 1, 2, … lar uchun davom ettirsak,



































k
k
k
k
k
k
k
k
k
w
v
u
z
y
x
z
y
x
1
1
1
, 
bu yerda 

 

k
k
k
k
k
k
k
k
k
z
y
x
z
y
x
J
w
v
u
,
,
)
,
,
(
1
F













;
.
25
2
0
1
15
2
4
2
15
)
(














k
k
k
k
y
x
y
J
x
Nyuton usuli iteratsiyalarining yaqinlashishini quyidagi jadvaldan ko‘rish mumkin: 
n 
x
n 
y
n 
z
n 



n
n
x
x
1
0 
1.00000000 
0.80000000 
0.90000000 
1 
1.07293361 
0,71696122 
0.90028552 
0.073 
2 
1.07257038 
0.71667586 
0.90054497 
3.6

10
-4 
3 
1.07257037 
0.71667585 
0.90054497 
8,05

10
-9 
Bu yerda topilgan 
x
3
yechim yetarlicha aniqlikda. Bu yerda ham 
533
.
0
9
.
0
1
9
.
0
073
.
0
1
3
3
0
1
*
3











q
q
x
x
x
x
, chunki 
9
*
3
10




x
x
. 
Demak, ushbu misolni yechishda Nyuton usulining yaqinlashish tezligi oddiy it-
eratsiyalar va Zeydel usullariga nisbatan ancha yuqori ekan. 
4) 
Broyden usuli
. Bu yerda ham Nyuton usulidagi kabi berilgan sistema uchun 
ushbu 


.
0
22
25
;
0
11
15
;
0
13
4
15
))
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
(
)
,
,
(
)
(
2
2
2
3
2
1
T
z
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x















F
x
F
belgilashlarni yuqorida qabul qilgan edik, bu yerda 

---

156 




















.
0
22
25
)
,
,
(
,
0
11
15
)
,
,
(
,
0
13
4
15
)
,
,
(
2
3
2
2
2
1
z
y
z
y
x
f
z
y
x
z
y
x
f
z
y
x
z
y
x
f
Boshlang‘ich yaqinlashishni 
x
0
= (1.0, 0.8, 0,9)
T
deb olib, yechimni 10
-5
aniq-
likda topamiz. 
Usul qoidalariga ko‘ra 
J
(
x
) – Yakob matritsasini quyidagicha yozamiz: 
.
25
2
0
1
15
2
4
2
15
)
,
,
(














y
x
y
z
y
x
J
Ushbu 
x
0
= (1.0, 0.8, 0,9)
T
boshlang‘ich yaqinlashish uchun
T
)
14
.
0
,
1
.
1
,
96
.
0
(
)
(
0


x
F
va
A
0
=
.
25
6
.
1
0
1
15
2
4
6
.
1
15
)
(
0














x
J
Endi
 
tenglamaning yechimini quyidagicha izlaymiz: 
.
90028552
.
0
71696122
.
0
07293361
.
1
)
(
0
1
0
0
1














x
F
x
x
A
Bu yerdan 
;
133104609
.
0
094680689
.
1
953104539
.
0
14
.
0
1
.
1
96
.
0
006895391
.
0
005319311
.
0
006895461
.
0
)
(
)
(
0
1
1






































x
F
x
F
u
;
00028552
.
0
08303878
.
0
07293361
.
0
0
1
1














x
x
s
;
000917385
.
0
1
1
0
1


u
s
A
T




.
040270578
.
0
002634918
.
0
001012361
.
0
001051642
.
0
069680092
.
0
010824741
.
0
01027858
.
0
003688885
.
0
065249361
.
0
000917385
.
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1


























A
A
A
A
T
s
u
s
Bularga ko‘ra 
.
900542205
.
0
716672463
.
0
072574247
.
1
)
(
1
1
1
1
2














x
F
x
x
A
Keyingi iteratsiyaning natijalari quyidagicha: 

---

157 
;
00683109
.
0
005359057
.
0
00683116
.
0
006895391
.
0
005319311
.
0
006895461
.
0
10
43008
.
6
10
9746
.
3
10
43008
.
6
)
(
)
(
5
5
5
1
2
2













































x
F
x
F
u
;
000256685
.
0
000288757
.
0
000359363
.
0
1
2
2















x
x
s
;
10
78414
.
2
7
2
1
1
2




u
s
A
T




.
040066453
.
0
003881658
.
0
000555101
.
0
001158947
.
0
067702574
.
0
009682179
.
0
010573633
.
0
005434321
.
0
067443808
.
0
000917385
.
0
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
2


























A
A
A
A
T
s
u
s
Bularga ko‘ra 
.
900544971
.
0
716675851
.
0
072570374
.
1
)
(
2
1
2
2
3














x
F
x
x
A
Hisob natijalarini jadval shaklida keltiramiz: 
n 
x
n 
y
n 
z
n 



n
n
x
x
1
0 
1.000000000 
0.800000000 
0.900000000 
1 
1.07293361 
0,71696122 
0.90028552 
0.073 
2 
1.072574247 
0,716672463 
0.900542205 
3.594 

10
-4 
3 
1.072570374 
0,716675851 
0.900544971 
3.389

10
-6 
Bu yerda topilgan 
x
3
yechim yetarlicha aniqlikda. Bu yerda ham 
533
.
0
9
.
0
1
9
.
0
073
.
0
1
3
3
0
1
*
3











q
q
x
x
x
x
, chunki 
10
*
3
10




x
x
. 
Demak, ushbu misolni yechishda Broyden usulining ham Nyuton usuli kabi ya-
qinlashish tezligi oddiy iteratsiyalar va Zeydel usullariga nisbatan ancha yuqori ekan. 
Sinov savollari 
1.
Nyuton va oddiy iteratsiyalar usullarining qo‘llanilish shartlarini ayting. 
2.
Iteratsion jarayonlarning yaqinlashishi deganda nimani tushunasiz? 
3.
Asosiy hisob formulalarini chiqaring. 
4.
Hisoblashlarni tugatish shartlarini tushuntiring. 
5.
Hisoblash usullarining afzalliklari va kamchiliklarini ko‘rsating. 
6.
Hisoblash usullarining algoritmlarini izohlang. 

---

158 
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
 
1.
Richard L. Burden and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth Edition, 
Boston, USA, 2011. – 895 p. 
2.
L.Ridgway Scott. Numerical Analysis. Princeton University Press, 2011.- 342 p. 
3.
Абдухамидов А.У., Худойназаров С. Ҳисоблаш усулларидан амалиёт 
ва лаборатория машғулотлари. – Тошкент: Ўқитувчи, 1995. – 240 б. 
4.
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики 
в пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитель). – М.: НТ Пресс, 2006. – 
496 с. 
5.
Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные мето-
ды. - М.: Издательский дом МЭИ, 2008. - 672 с. 
6.
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.: 
Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
 
7.
Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах 
и упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с. 
8.
Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. 
– 848 с. 
9.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: 
Наука, 1966. – 566 б. 
10.
Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. – 
М.: СОЛОН-Пресс, 2006. – 720 с. 
11.
Дьяконов В. П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах. — М.: 
ДМК-Пресс, 2011.
12.
Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 1- қисм. – Тошкент: Ўқитувчи, 
2003. – 440 б. 
13.
Калиткин Н.Н., Альшина Е.А. Численные методы: в 2 кн. Кн. 1. Численные 
анализ. - М. : Издательский центр «Академия», 2013. - 304 с. 
14.
Кирянов Д.В. Mathcad 13. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 608 с. 
15.
Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и 
задачах. – М.: Наука, 2009. – 368 с. 
16.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Изд-во Лань, 
2010. – 608 с. 
17.
Матросов А. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – 
СПб.: БХВ-Петербург, 2001.
18.
Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование 
Matlab. 3-издание: Пер. с англ. – М.: Изд-во дом «Вильямс», 2001. - 720 с. 
19.
Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Изд-во Лань, 2009. -
288 с. 
20.
Сборник задач по методам вычислений. Учебное пособие / Под ред. 
П.И.Монастырного. – 2-е изд. – Мн.: Университецкое, 2000. – 311 c. 

---

159 
MUNDARIJA 
 
KIRISH……………………………………………………………………... 
3 
1. HISOBLASH XATOLIGINI BAHOLASH USULLARI……………….. 
4 
1.1. Matematik modellashtirish va matematik modelni yaratish jarayoni.... 
4 
1.2. Amaliy masalalarni kompyuter yordamida yechishning bosqichlari..... 15 
1.3. Hisoblash eksperimenti.......................................................................... 18 
1.4. Xatoliklar nazariyasi elementlari……………………………………… 19 
2. NOCHIZIQLI TENGLAMALARNI YECHISHNING SONLI USUL-
LARI………………………………………………………………… 
48 
2.1. Nochiziqli tenglamalar, ularni yechishning geometrik talqini………… 48 
2.2. Tenglamaning ildizlarini ajratish……………………………………… 55 
2.3. Algebraik tenglamaning ildizlarini ajratish…………………………… 
59 
2.4. Nochiziqli tenglama oddiy ildizlarini topishning taqribiy usullari: 
skanirlash usuli; kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli; vatarlar usuli; 
Nyuton usuli; kesuvchilar usuli; vatarlar va urinmalar usullarining 
birlashgan variantlari; oddiy iteratsiya usuli; teskari funksiyaga o‘tish 
bilan ketma-ket yaqinlashish usuli; Steffensen usuli; teskari kvadratik 
interpolyatsiya usuli................................................................................. 
65 
2.5. Ko‘phad ildizlarini izlashning sonli usullari…………………………... 98 
3. NOCHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING 
SONLI USULLARI……………………………………………………. 
110 
3.1. Dastlabki tushunchalar……………………………………………….. 110 
3.2. Nyuton usuli.………………………………………………………….. 110 
3.3. Takomillashtirilgan Nyuton usuli…………………………………….. 117 
3.4. Nyuton-Rafson usuli …………………………………………………. 118 
3.5. Iteratsiyalar usuli (ketma-ket yaqinlashishlar usuli)………………….. 119 
3.6. Oddiy iteratsiya usuli ………………………………………………… 121 
3.7. Zeydel usuli …………………………………………………………... 127 
3.8. Parametrlarni qo‘zg‘atish usuli ………………………………………. 128 
3.9. Pikar iteratsiyalari…………………………………………………….. 130 
3.10. Broyden usuli………………………………………………………… 130 
3.11. Tezkor tushish usuli (Gradiyent usuli)………………………………. 132 
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI…………………….. 158 
 

---

160 
 
Ablakul Abdirashidov 
Abdusattor Ibragimovich Babayarov 
 
 
HISOBLASH USULLARI 
mexaniklar uchun amaliy mashg‘ulotlar
 
1-qism
 
 
 
 
 
 
O‘quv qo‘llanma
Muharrir:
Saydaliyeva N. 
Musahhih:
Raxmatullayev N. 
Texn. muharrir:
Ro‘ziboyev M. 
 
 
 
2008 yil 19-iyun 68-buyruq. 
2018 yil 28-noyabrda noshirlik bo
ʻ
limiga qabul qilindi. 
2018 yil 29-noyabrda original maketdan bosishga ruxsat etildi. 
Bichimi 60x84, 
1
/
32
. «Times New Roman» garniturasi. 
Ofset qog
ʻ
ozi. Shartli bosma tabog
ʻ
i – 10,0. 
Nashriyot hisob tabog
ʻ
i – 9,0. Adadi 50 nusxa. 95-buyurtma. 
_________________________________________ 
SamDU bosmaxonasida chop etildi. 
140104, Samarqand sh., Universitet xiyoboni, 15