O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti

III-BOB.Potensiallar tushunchasi va ularning fizik ma’nosi.
I.1.Potensiallar tushunchasi. Agar bo’laklari silliq sirt bilan chegaralangan soha bo’lib , funksiya sinfga
tegishli bo’lsa ,


^{sinf funksiyalarning va garmonik funksiyalarning integral ifodasini keltirib o’tamiz.}


sohaning o’zgaruvchi nuqtasini ξ orqali belgilab olamiz.


^{(ξ ) funksiya ( ) 1sinfga tegishli bo’lsin. sohaning ixtiyoriy nuqtasini} olamiz va bu nuqtani markaz qilib ε radiusli shar chizamiz,
sharning sirti bo’lsin. ε radiusni shunday kichik qilib olamizki,


shar sohada to’la yotsin. ni orqali belgilaymiz.Ravshanki, sohada ^{va ,ξ) funksiyalar ( )( ( )) sinfga tegishli. sohada bu funksiyalarga} Grin formulalasini qo’llaymiz:

Bu yerda differensial belgisidagi ξ indeks integrallash ξ bo’yicha bajarilayotganini bildiradi.

Ma’lumki, ∆ =0.Avvalo >2 bo’lsin. sferada = n-normal sohaga tashqi bo’lganligi sababli ε radiusga qarama-qarshi yo’nalgan. Shuning uchun

Birlik sferani orqali belgilasak, ma’lumki, , ξ-x=θε almashtirishni bajarsak,

ξ∈ bo’lganda, θ∈S₁ bo’ladi, shu sababli avvalgi formulani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:




Ma’lumki,


(I.1) formulaning o’ng tomonidagi birinchi integral ε ga bog’liq emas. (ξ)∈ ( )
Bo’lgani uchun ǀ ǀ
=
Bundan darhol




- birlik sferaning yuzi .

Demak,(І.1) tenglikdan ushbu

=


formula hosil bo’ladi.Eslatib o’tamiz,birlik sfera sirtning yuzi ǀ ǀ
bo’lganda (І.2) formula o’z ma’nosini yo’qotadi. Bu holda ( , )= ekanligini e’tiborga olib, avvalgi hisoblashlarni qaytarsak,
= (І.3)
formulaga ega bo’lamiz.Agar nuqta sohadan tashqarida yotgan bo’lsa,
ξ= S, n ,


–u( n=2.

formulalar hosil bo’ladi.

Endi (ξ) funksiya (І.2) va (І.3) formulalarni chiqarishdagi shartdan tashqari sohada garmonik ham bo’lsin. Bu holda (І.2) ,(І.3) formulalarda bo’ladi, natijada garmonik funksiyalarning quyidagi integral ifodasiga ega bo’lamiz:
S, n , (І.4)


u( n=2 (І.5)