O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta`lim vazirligi

-sort(-V) 
– V massivni tartiblaydi (kamayish tartibi bo’yicha
 
saralaydi). 
>> V=[-1 0 3 -2 1 -1 1]; 
>> -sort(-V) 
ans = 
3 1 
1 
0 
-1 
-1 
-2 
det(M) 
–
 
M kvadrat matritsani hisoblaydi. 

---

235 
>> M=[3 2;4 3]; 
>> det(M) 
ans = 1 
rank(M) 
–
 
M matritsa rangini aniqlaydi. 
>> M=[1 -2 4 5;3 -1 -3 5;1 3 -11 -5] . 
M = 
-2 4 5 
-1 -3 5 
3 -11 -5 
>> rank(M) 
ans = 2 
norm(M, p) 
–
 
p (p=1, 2, inf, fro) ga bog’liq holda M matritsaning
 
normasini turli
 
ko’rinishlarda qaytaradi. 
cond (M, p) 
–
 
p normaga asoslangan M matritsa shartli qiymat sonini 
qaytaradi. 
Ushbu funksiyalarga doir misollar quyidagicha: 
>> M=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10]; 
>> norm(M) 
ans = 30.2887 
>>M=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10]; 
>>cond(M) 
ans = 2.9841e+003 
eye (n, m) 
yoki
 eye (n) 
–
 
kvadrat birlik matritsa yoki bosh diagonali
 
bo’yicha 
birlik
 
to’g’ri to’rtburchakli matritsani qaytaradi. 
cat (n, A, B) 
yoki
 cat (n, A, B, C, ...) 
–
 
A va B matritsalarni birlashtiradi. 
Misol: 
>> A=[1 2;3 4];
>> B=[5 6;7 8];
>> cat(2,A,B)
ans =

---

236 
1 5 
6 
4
 
7 
8 
 >>[A,B]
 ans =
2 5 6 
4
 
7 8 
 
>>cat(1,A,B) 
ans =
1 2 
3 4 
5 6 
7 8 
inv(M) 
–
 
M matritsaga teskari matritsani qaytaradi. 
Misol: 
>>M=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6] 
M = 
1 
-5 
1 
-3 
0 
-6 
2 
-1 
2 
4 
-7 
6 
>>
P=inv
(M) 
P = 
1.3333 -0.6667 0.3333 -1.0000 -0.0741 0.2593 
1.1481 -0.1111 0.3704 -0.2963 0.2593 -0.4444 
0.2593 -0.4074 -0.5185 -0.1111 
>> M*P % M*P=E ekanligini tekshirish 
ans = 
1.0000 
-0.0000 
-0.000 
0.0000 
01.0000 0.0000 
0.0000 
0.0000 
-0.0000 
1.0000 
-0.0000 
0.0000 
-0.0000 
-0.0000 
1.0000 

---

237 
magic(n) 
–
 
funksiyasi
 n

n 
o’lchamli sirli matritsani
 
beradi, yani barcha ustun
 
elementlari yig’indisi, barcha satr elementlari yig’indisi va hatto diagonal bo’yicha 
elementlar yig’indisi bir xil songa teng bo’ladi.
Masalan: 
>> M=magic(4)
M = 
16 2 
3 
13 
5 
11 
10 
8 
9 
7 
6 
12 
4 
14 
15 
1 
>>sum(M')
ans = 
34 34 34 34 
>>M=magic(10)
M = 
92 
99 
1 
8 
15 
67 
74 
51 
58 
40 
98 
80 
7 
14 
16 
73 
55 
57 
64 
41 
4 
81 
88 
20 
22 
54 
56 
63 
70 
47 
85 
87 
19 
21 
3 
60 
62 
69 
71 
28 
86 
93 
25 
2 
9 
61 
68 
75 
52 
34 
17 
24 
76 
83 
90 
42 
49 
26 
33 
65 
23 
5 
82 
89 
91 
48 
30 
32 
39 
66 
79 
6 
13 
95 
97 
29 
31 
38 
45 
72 
10 
12 
94 
96 
78 
35 
37 
44 
46 
53 
11 
18 
100 
77 
84 
36 
43 
50 
27 
59 
>> sum(M')
ans = 
505 505 505 505 505 505 505 505 505 505 
>>M=magic(3) 
M =
8 
1 
6 
3 
5 
7 
4 9 2 
>> sum(M')
ans = 15 15 15 

---

238 
linsolve(A, b) 
- A·x=b ko’rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasi
 
yechimini, 
linsolve(A, b, options)
formatida tenglama yechish metodini berish imkonini 
chaqiradi. 
>>A=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2]; 
>> b=[0;1;4]; 
>> x=linsolve(A,b) % chiziqli tenglamalar sistemasi yechish 
x = 
[ 13/28] 
[ 47/28] 
[ 3/4] 
>>A*x %yechimni to’g’riligini tekshirish 
ans = 
[ 0] 
[ 1] 
[ 4] 
MUHOKAMA UCHUN SAVOLLAR VA MUAMMOLI VAZIYATLAR! 
1.
Vektor uzunligini aniqlash qanday funksiya yordamida amalga oshiriladi? 
2.
Vektor elementlarining ko’paytmasi qanday bajariladi? 
3.
Vektor elementlarining yig’indisi qanday bajariladi? 
4.
Matritsalar ustida qanday funksuyalar bajarish mumkin? 
5.
Teskari matritsa qanday aniqlanadi? 
 
3-§. MATLAB dasturidagi maxsus buyruqlarining tasnifi 
O’quv modullari 
MATLAB paketiga tegishli funksiyalar, simplify 
funksiyasi, simplify funksiyasi, expand funksiyasi, dsolve 
funksiyasi 

---

239 
MATLAB paketiga tegishli funksiya va buyruqlarni quyidagi buyruq 
yordamida olish mumkin: 
help symbolic 
>>Symbolic Math
Toolbox. 
Calculus. 
diff 
- Differentiate. 
int 
- Integrate. 
limit 
- Limit. 
taylor 
- Taylor series. 
jacobian 
- Jacobian matrix. 
symsum
- Summation of series.
Linear Algebra. 
diag 
- Create or extract diagonals. 
triu 
- Upper triangle. 
tril 
- Lower triangle. 
inv 
- Matrix inverse. 
det 
- Determinant. 
rank 
- Rank. 
rref 
- Reduced row echelon form. 
null 
- Basis for null space. 
colspace 
- Basis for column space. 
eig 
- Eigenvalues and eigenvectors. 
svd 
- Singular values and singular vectors. 
jordan 
- Jordan canonical (normal) form. 
poly 
- Characteristic polynomial. 
expm 
- Matrix exponential. 

---

240 
Simplification. 
simplify 
- Simplify. 
expand 
- Expand. 
factor 
- Factor. 
collect 
- Collect. 
simple 
- Search for shortest form. 
numden 
- Numerator and denominator. 
horner 
- Nested polynomial representation. 
.................................................................................va boshqa buyruqlar ro’yxati 
chiqariladi. 
Yuqorida keltirilgan ayrim buyruqlarni ishlatilishi bilan tanishib chiqamiz: 
1. 
simplify
– bu funksiya ifodani soddalashtiradi. 
Simvolli ob’ektlar guruhini yaratish uchun 
syms
funksiyasi xizmat qiladi. Uning 
umumiy ko’rinishi quyudagicha: 
Syms arg1 arg2 … - bu simvolli ob’ektlar guruhini yaratadi. 
Misollar ko’raylik: 
6
>> syms a b x; 
7
>> simplify((a^2 - 2*a*b + b^2) / (a - b)) 
ans = a-b 
expand 
–
 
bu funksiya qavslarni ochadi. 
Misol: 
8
>> syms a b x; 
>> S=[(x + 2)*(x + 3)*(x + 4) sin(2*x)]; 

---

241 
>> expand(S) 
ans = 
[ x^3+9*x^2+26*x+24,
2*sin(x)*cos(x)] 
factor 
– bu ifodani sodda ko’paytuvchilarga yoyadi.
 
х
 
= sym ('x') 
– simvolli o’zgaruvchini ‘x’ nom bilan qaytaradi va natijani x ga 
yozadi. Misol: 
>> help sym/name.m 
sym/name.m not found. 
>>x=sym('x') 
x = x 
>>factor(x^7-1)
ans = 
(x-1)*(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) 
collect 
– bu darajalari bo’yicha komplektlash. 
collect(S,v) 
funksiyasi S matritsa yoki vektor tarkibidagi ifodani v
 
o’zgaruvchi
 
darajasi bo’yicha komplektlash. 
simple(S) 
funksiyasi S massiv elementlarini turli soddalashtirshlarini 
bajaradi. 
numden 
–
 
ratsional shaklga keltirish funksiyasi.Misol: 
>>[n,d] = numden(sym(8/10)) 
n = 4
d = 5 
Yuqoridagi misolda n suratni, d esa maxrajni bildiradi. 
subs 
– o’rniga qo’yishni ta’minlaydi. 
diff 
–
 
funksiyaning hosilasini oladi.
Misol: 
>> help sym/name.m sym/name.m not found. 
>> x=sym('x');y=sym('y'); 
>> diff(x^y) 
ans = x^y*y/x 

---

242 
Natijani yana soddalashtirish mumkin. Buning uchun simplify (arg) 
buyrug’idan foydalanamiz. 
>>simplify(ans)
ans = 
x^(y-1)*y 
int 
–
 
integrallash funksiyasi. Bu aniq va aniqmas integrallarni hisoblashda 
ishlatiladi. 
int
(S,a,b)
 
–
 
S funksiyaning (a,b) oraliqda aniq integralni qaytaradi (hisoblaydi). 
Masalan: 
>> int(sin(x)^3, x) 
ans = 
-1/3*sin(x)^2*cos(x)-2/3*cos(x) 
>> int(log(2*x), x) 
ans = 
log(2*x)*x-x 
limit 
–
 
funksiya limitini hisoblaydi. Limit(F,x,a)
 
–
 
bu funksiya F simvolli 
ifodaning
 
x=a nuqtada limitini aniqlaydi. 
>>limit(sin(x)/x, x, 0) 
ans = 
1 
taylor 
- bu funksiya Teylor qatoriga yoyadi. 
Misol: 
>> x = sym('x') 
x = 
>> taylor(sin(x)) 
ans = x-
1/6*x^3+1/120*x^
5 
solve 
–
 
bu buyruq algebraik tenglama va tenglamalar sistemasining yechimini
 
aniqlaydi. 
Misol: 
>> syms x y; 
>> solve(x^3 -1, x)

---

243 
ans = 
[1] 
[ -1/2+1/2*i*3^(1/2)] 
[ -1/2-1/2*i*3^(1/2)] 
Ushbu x+y=3 sistemaning yechimini 
solve
buyrug’idan 
xy
2
=
4 foydalanib 
aniqlash quyidagicha: 
>> S = solve('x+y=3', 'x*y^2=4', x, y) 
S = 
x: [3x1 sym] 
y: [3x1 sym] 
>>S.x 
ans = 
[ 4] 
[ 1] 
[ 1] 
>>S.y
ans = 
[ -1] [ 2] [ 2]