Parametrga bog`liq bo`lgan xos integrallar va ularning funksional xossalari

2-Teorema (Veyershtrass). Agar funksiya topilsaki

1. 
   va uchun
   
2. 
   yaqinlashuvchi
   

bo`lsa, unda integral Ye to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
3-Teorema (Abel alomati). va funksiyalar

to`plamda berilgan bo`lib,

1. 
   fiksirlangan uchun funksiya da o`zgaruvchi bo`yicha monoton va u toplamda chegaralangan,
   
2. 
   integral Ye da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda
   

integral Ye to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
4-Teorema (Dirixle alomati). va funksiyalar to`plamda berilgan bo`lib,
1) va uchun
,
2) fiksirlangan uchun funksiya da o`zgaruvchi bo`yicha monoton va da funksiya 0 ga tekis yaqinlashsa, u holda

integral E to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
6⁰. Parametrga bog`liq xosmas integrallarning funksional xossalari
funksiya to`plamda berilgan bo`lib, nuqta Ye to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
1-Teorema. Agar

1. 
   fiksirlangan uchun ,
   
2. 
   da kesmada funksiya ga tekis yaqinlashsa,
   
3. 
   integral Ye to`plamda tekis yaqinlashuvchi
   

bo`lsa, u holda da funksiya limitga ega va

bo`ladi.
2-Teorema. Agar funksiya

to`plamda berilgan bo`lib,

1. 
   ,
   
2. 
   integral da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda bo`ladi.
   

3-Teorema. Agar funksiya

to`plamda berilgan bo`lib,

1. 
   , ,
   
2. 
   fiksirlangan uchun yaqinlashuvchi,
   
3. 
   integral da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda funksiya oraliqda hosilaga ega bo`ladi va
   

tenglik bajariladi.
4-Teorema. Agar funksiya

to`plamda berilgan bo`lib,

1. 
   ,
   
2. 
   integral da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda funksiya da integrallanuvchi va
   

bo`ladi.
. Eyler integrallari (Beta va Gamma funksiyalar)
a) Beta funksiya (1-tur Eyler integrali) va uning xossalari


1-Ta`rif. Quyidagi
(15)
integralga Beta funksiya yoki 1-tur Eyler integrali deyiladi.
Beta funksiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   (15)-integral to`plamda yaqinlashuvchi, to`plamda esa tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Natija. Agar bo`lsa,
(16)
tenglik o`rinli bo`ladi.
(16) dan

5. 
   va uchun
   

(17)
tenglik o`rinli.
Natija.

b) Gamma funksiya (2-tur Eyler integrali) va uning xossalari.
2-Ta`rif. Quyidagi
(18)
integralga Gamma funksiya yoki 2-tur Eyler integrali deyiladi.
Gamma funksiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   
   
2. 
   (18)-integral oraliqda yaqinlashuvchi, kesmada esa tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
   
3. 
   va uchun
   

4) (19)
Natija.
Beta va Gamma funksiyalar orasidagi bog`lanishni quyidagi teorema ifodalaydi.
Teorema. uchun
(20)
tenglik o`rinli.
Natija. uchun
(21)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Agar (21)-tenglikda desak
(22)
bo`ladi.
Eyler integrallari yordamida ko`pgina xosmas integrallarni hisoblash ancha osonlashadi.
Misollar.

1. 
   Eyler-Puasson integrali hisoblansin.
   

2. 
   xosmas integral hisoblansin.
   

-B-
Namunaviy variant yechimi.
1.21-Masala. Quyidagi

xosmas integral hisoblansin.

Bu integralni hisoblash uchun xosmas integralda bo`laklab integrallash usulidan foydalanib, quyidagi ishlarni bajaramiz.



Demak,

. Shunday qilib, berilgan integral I ga nisbatan ushbu

tenglamaga keldik. Bu tenglamadan
ekanligini hosil qilamiz.