ketma-ketlik uchun ham
BAn+la B A lf va p]&4w= 0 munosabatlar
o‘rinIi bo'ladi va
P ning nolda nzluksizligiga ko‘ra
»-»CO
H->co r\D f
r\£>) Ц-+СО
Bundan 3-§ dagi 1-teoremaga asosan
PB uchun КЗ aksiomaning
o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Demak,
PB fimksiya
(Qjf) o‘lchovli fazoda aniqlangan ehtimol
o‘lchovi ekan.
H odisalarning bog‘liqsizligi. Hodisalarning bog'liqsizligi ehti
mollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri hisoblanadi. Bu
xossa ehtimollar nazariyasini o‘lchovli fazolaming umumiy nazariya-
sidan ajratib turadigan o‘ziga xos xususiyatini aniqlab beradi.
Agar
P(A /
B) =
P(A) tenglik bajarilsa, u holda
A hodisa
В
hodisaga bog‘liq emas deyish tabiiydir. Agar
P(A}> 0 bo‘lsa, u holda
P{B /
A) shartli ehtimol mavjud va ko'paytirish teoremasiga ko‘ra
P(A)
P(A)
4 4
Demak,
A hodisaning
В ga bog4liqsizligidan
В hodisaning ham
A ga bog‘liqsizligi
kelib chiqadi, ya’ni
A va В hodisalarning
bogMiqsizligi simmetriklik xususiyatiga ega ekan.
Agar
A
va В hodisalar bog‘Iiqsiz bo‘lsa, u holda
P{AB) =
P(A)P(B) tenglik o‘rinli va bu tenglik
A va В hodisalarning
ehtimollari nol bo‘lganida ham ma’noga ega. Natijada biz ushbu
ta’rifga kelamiz.
6-ta’rif. Agar
P(AB) = P(A)P(B)
tenglik o'rinli boblsa
A va
В hodisalar bog‘liqsiz deyiladi.
21-misol. Tajriba simmetrik tangani 2 marta tashlashdan iborat.
A orqali birinchi tashlanganda gerb chiqish hodisasini,
В orqali esa
tanga
ikkinchi
marta
tashlanganda
gerb
chiqish
hodisasini
belgilaymiz. U holda elementar hodisalar maydoni i3={gg,gr,rg,rr},
/4={gg,gr} va £={gg,rg} to‘plamIardan iborat bo‘ladi. Agar elementar
hodisalarning har biri 1 / 4 ehtimolga ega ekanligini hisobga olsak, u
29
holda
P(A) = 1 /2 ,
P(B) = 1 / 2, />(ЛД) = 1 /4
bo‘ladi.
Demak,
P(AB) = P(A)P(B) va
hodisalar bogiiqsiz.
7-ta’rif.
Al,A2,...,An hodisalar berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy
1 < /,
< i2 < ... <
ik < n\ 2 < , к й п sonlar uchun
-
р ц
)p(A h)...p( щ
tengliklar o ‘rinli bo‘Isa, u holda
A],A27...,AII birgalikda bog‘Iiqsiz
hodisalar deyiladi.
7-ta’rifdan
Av A2,,.,, An? birgalikda bog‘liqsiz hodisalar bo‘Isa, u
holda ularning ixtiyoriy q ism 'to cplamidagi
A
j
9A
j
^9..*9A^ hodisalar
ham birgalikda bog‘liqsiz ekanligi kelib chiqadi. Ushbu misol hodisa
larning birgalikda bogMiqsizligi ularning juA-jufti bilan bogMiqsiz-
ligiga nisbatan kuchliroq shart ekanligini ko‘rsatadi.
22-misol. Tajriba simmetrik tangani 2 marta tashlashdan iborat
bo'lsin (20-misolga qarang).
A = { g g ,g r } , B = { g g ,r g )
va
C = { g g , r r } — tanga ikki marta tashlaganda ikki marta bir xil tomon
tushish hodisasini belgilaymiz. Agar barcha elementar hodisalar bir xil
ehtimolga ega bo‘lsa, u holda
P(A) = I
P(B) = I
P(C) = i ;
P(AB) = P(AC) = P (5 C ) = 1
ammo
P(ABC) = ^ * ^ = P(A)P(B)P(C), ya’ni
A,B,C hodisalar juft-
jufti bilan bog‘liqsiz, lekin ular birgalikda bog'liqsiz emas.
Ehtimollar nazariyasida ko'pincha bog'liqsiz hodisalar bilan
birga hodisalar sinflarining bog'liqsizligini ham qarashga to 'g 'ri
keladi.
Dostları ilə paylaş: