Tasodifiy jarayonlar va ularni asosiy statistik xarakteristikalari

t
X
P
t
t
t
x
x
x
F




yoki ehtimolliklari ko‘p o‘lchamli zichlik bilan taqsimlangan (differensial taqsimot 
qonuni) tasodifiy kattalik sifatida ham ko‘rish mumkin: 




n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
t
t
t
x
x
x
F
t
t
t
x
x
x
W





...
,...,
,
;
,...,
,
,...,
,
;
,...,
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
. 

---

Ikkala holatda ham hamma 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy hosilalar 
mavjud bo‘lish sharti bor. 
n
-ning tartibi qancha baland bo‘lsa, tasodifiy jarayonning 
ehtimollik xususiyatlari shunchalik to‘liq ifoda etiladi. 
Tasodifiy jarayonlar ko‘pincha normal qonun bilan taqsimlanadi. Tasodifiy 
jarayon normal taqsimlangan yoki Gauss qonuni bo‘yicha taqsimlangan deb 
hisoblanishi uchun uning istalgan tartibli ehtimolliklari zichligi normal qonun bilan 
taqsimlangan bo‘lishi kerak. Bu qonunning grafik ko‘rinishi bir o‘rkachli tuyaning 
o‘rkachiga o‘xshagan qavariq chiziq bo‘lib, vertikal o‘rta o‘qiga nisbatan simmetrik 
bo‘ladi. Normal taqsimlangan tasodifiy jarayonlarda ehtimollik xususiyatlari 
ehtimolliklarning ikki o‘lchamli zichligi bilan aniqlanadi 




.
,
;
,
,
;
,
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
x
x
t
t
x
x
F
t
t
x
x
W




Normal tasodifiy jarayonlarning taqsimlanish funksiyasi 




.
,
;
,
,
;
,
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
dx
dx
t
t
x
x
W
t
t
x
x
F
x x
 





Ko‘p o‘lchamli taqsimlanish funksiyalaridan amalda foydalanish qiyinroq. 
Shuning uchun tasodifiy ta’sirlarga uchrab turadigan boshqarish tizimlari hisobini 
soddalashtirish maqsadida tasodifiy jarayonlarning boshqa oddiyroq, o‘zi tasodifiy 
bo‘lmagan miqdoriy ko‘rsatkichi kiritiladi. Bunday ko‘rsatgich sifatida ko‘pincha 
matematik kutilma, dispersiya va korrelyatsiyali funksiya ishlatiladi.
Tasodifiy jarayon – 
 
t
X
ning 
matematik kutilmasi (o‘rtacha qiymati)
shunday 
funksiya –
 
t
m
x
ni uning qiymati har bir on – 
t
da tasodifiy jarayonning tegishli 
kesimining matematik kutilmasigaga teng bo‘ladi, ya’ni 
 
 


   






dx
t
x
W
t
x
t
X
M
t
m
x
;
1
. 
Matematik kutilma shunday o‘rtachalashtirilgan jarayon-ki, tasodifiy jarayonning 
ehtimoliy kechishi unga yaqin bo‘ladi. 
Muntazam jarayon 
 
t
X
ning matematik kutilmasi jarayonning o‘zi bilan mos 
tushadi, ya’ni 
   
t
x
t
m
x

. 
Tasodifiy jarayon – 
 
t
x
ning dispersiyasi shunday 
 
t
D
x
funksiya-ki, uning 
qiymati har bir on – 
t
da tasodifiy jarayonning tegishli kesimining dispersiyasiga 
teng bo‘ladi, ya’ni 
 
 


 
 

  







.
;
1
2
dx
t
x
W
t
m
t
x
t
X
D
t
D
x
x
Dispersiya, tasodifiy jarayon matematik kutilmasidan qancha og‘ib ketishi 
mumkinligini ko‘rsatadi va tasodifiy jarayonning kvadrati bilan o‘lchanadi, shuning 
uchun hisoblash qulay bo‘lishi maqsadida “o‘rta kvadratik og‘ish” ko‘rsatkichidan 
foydalaniladi 
 
 
t
D
t
x
x


. 
Bu parametrning o‘lchov birligi tasodifiy jarayoni bilan bir xil. 
Matematik kutilma va dispersiya o‘z qiymati atrofida birmuncha “yo‘lak” 
qoldiradiki, unda ma’lum ehtimollik bilan tasodifiy jarayonning ehtimoliy kechishi 

---

joylashishi mumkin, biroq aytilgan ikki tavsif (parametr) “kechinmalar” qanday 
tarzda o‘zgarishi mumkinligini bildira olmaydi. 
Tasodifiy funksiyaning o‘zgaruvchanlik darajasi yoki ikkita ixtiyoriy tanlangan 
kesimlari orasidagi ehtimoliy yoki statistik bog‘liqlik darajasi korrelyatsion funksiya 
bilan tavsiflanadi. 
Tasodifiy jarayon – 
 
t
X
ning 
korrelyatsiya (avtokorrelyatsiya)li funksiyasi
ikki 
o‘zgaruvchi 


2
1
,
t
t
ning shunday – 


2
1
,
t
t
K
xx
funksiyasi-ki, uning ixtiyoriy har bir juft 
on – 
2
1
,
t
t
dagi qiymati markazlashgan tasodifiy jarayon – 
 
 
 
t
m
t
X
t
X
x


o
ning 
tegishli kesimiga oid korrelyatsiyali momentiga teng bo‘ladi, ya’ni 
 
   
 
 


 
 




.
,
;
,
,
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
o
1
o
2
1
dx
dx
t
t
x
x
W
t
m
t
x
t
m
t
x
t
X
t
X
M
t
t
K
x
x
xx
 















Bu funksiya 
 
1
t
X
va 
 
2
t
X
tasodifiy kattaliklar orasidagi ehtimoliy bog‘lanish 
(korrelyatsiyani)aks ettiradi. Ehtimoliy bog‘lanish qancha kam bo‘lsa, 


2
1
,
t
t
K
xy
ning 
qiymati ham shuncha kichik va tasodifiy jarayon 
 
t
X
ning qiymatlari shunchalik tez 
o‘zgaradi. 
11.3-rasmda matematik kutilma va dispersiyasi bir xil bo‘lgan ikkita tasodifiy 
jarayonning tavsifi ko‘rsatilgan. 11.3,
a
-rasmdagi tasodifiy jarayon tez o‘zgarayapti va 
bunda jarayonning kesimlari orasidagi ehtimoliy bog‘lanish tez o‘zgarayapti. 11.3,
b
-
rasmdagi tasodifiy jarayonda kesimlar orasidagi ehtimoliy bog‘lanish katta. Shuning 
uchun 
1
2
t
t

ayirmasi kattalashganda korrelyatsiyali funksiya 11.3,
a
-rasmdagiga 
qaraganda sekin (asta)roq so‘nadi. Shunday qilib, aytish mumkinki, korrelyatsion 
funksiya tasodifiy jarayonning ichki strukturasini tavsiflaydi.
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
 
 
 
 
 
b 
11.3-rasm.