Tasodifiy jarayonlar va ularni asosiy statistik xarakteristikalari

 Matematik kutilma va dispersiyasi bir xil bo‘lgan ikki tasodifiy 
jarayonning tavsifi. 
Korrelyatsion funksiya 
2
1
,
t
t
o‘zgaruvchilarga nisbatan simmetrik bo‘ladi 
 
 
.
,
,
1
2
2
1
t
t
K
t
t
K
xx
xx

Agar 
t
t
t


2
1
deb qabul qilsak korrelyatsion funksiya dispersiyaga teng bo‘ladi, 
ya’ni 
 
 
.
,
t
D
t
t
K
x
xx

0 
X 
t 
t
2
t
2 
X 
0 
t
2
t 
t
2 

---

Boshqarish tizimlarining xususiyatlarini tadqiq etayotganda, olimlar ko‘pincha, 
tizimdagi turli tasodifiy jarayonlar o‘rtasidagi bog‘lanishni izlaydilar. 
 
t
X
va 
 
t
Y
tasodifiy jarayonlar orasidagi ehtimoliy bog‘lanish ularning o‘zaro korrelyatsion 
funksiyasi bo‘yicha baholanadi. 
Ikkita tasodifiy jarayon 
 
t
X
va 
 
t
Y
ning o‘zaro korrelyatsiyali funksiyasi 


2
1
,
t
t
K
xy
yuqorida ta’riflangan korrelyatsiya (avtokorrelyatsiya)li funksiyaning 
aynan o‘zi bo‘lib, ikkala jarayon uchun bunday yoziladi: 
 
 
 
t
m
t
X
t
X
x


o
va 
   
 
t
m
t
Y
t
Y
y


o
, yani 
 
   
 
 


 
 




.
,
;
,
,
2
1
2
2
2
1
1
2
o
1
o
2
1
dxdy
t
t
y
x
W
t
m
t
y
t
m
t
x
t
X
t
X
M
t
t
K
y
x
xy
 















O‘zaro korrelyatsiyali funksiyalar simmetrik emas: 
 
 
.
,
,
2
1
2
1
t
t
K
t
t
K
yx
xy

Biroq, quyidagi tenglik o‘rinli: 
 
 
.
,
,
1
2
2
1
t
t
K
t
t
K
yx
xy

3. Statsionar tasodifiy jarayonlar 
 
Boshqarish tizimlarida kechadigan tasodifiy hodisalar statsionar va nostatsionar 
turlarga ajratiladi. Vaqtga bog‘liq holda kechsa, 
nostatsionar
, bog‘liq bo‘lmasa, 
statsionar
deyiladi. Amalda nostatsionar tasodifiy jarayonlar ko‘p uchraydi, ularning 
matematik apparat yordamida tadqiq etib, parametrlarining analitik ifodasini keltirib 
chiqarish juda qiyinlashib ketadi va har bir son uchun alohida-alohida ifodalar topish 
lozim bo‘ladi. 
Shu sabablarga ko‘ra, tasodifiy jarayon statsionar deya faraz etiladi. 
Tasodifiy jarayon 
 
t
X
ni 
statsionar
, deb atash uchun uning ehtimollik tavsiflari 
vaqtga bog‘liq bo‘lmasligi kerak, ya’ni 




t
X
tasodifiy jarayonning tavsiflari 
istalgan 

da 
 
t
X
jarayonning tavsiflari bilan mos tushishi lozim. 
Statsionarlik tor va keng ma’nolarga ega.
Agar tasodifiy jarayon 
 
t
X
ning 
n
o‘lchamli taqsimot funksiya va istalgan 
n
dagi ehtimolliklar zichligi 
n
t
t
t
,...,
,
2
1
qatorning har bir oni uchun vaqtning surilishi 

ga bog‘liq bo‘lmasa, tor ma’noda statsionar va qat’iy statsionar deyiladi, ya’ni: 




,
,...,
,
;
,...,
,
,...,
,
;
,...,
,
2
1
2
1
2
1
2
1







n
n
n
n
n
n
t
t
t
x
x
x
F
t
t
t
x
x
x
F




,...
2
,
1
,
,...,
,
;
,...,
,
,...,
,
;
,...,
,
2
1
2
1
2
1
2
1





n
t
t
t
x
x
x
W
t
t
t
x
x
x
W
n
n
n
n
n
n



Keltirilgan ta’rifdan statsionar tasodifiy jarayonning hamma ehtimollik tavsiflari 
vaqtga nisbatan invariantligi ko‘rinadi. Bu tavsiflar, shuningdek, vaqt bo‘yicha hisob 
boshiga ham bog‘liq bo‘lmaydi. 

---

Tasodifiy jarayon 
 
t
X
, keng ma’noda statsionar yoki bo‘sh (sust) statsionar 
deyilishi uchun uning matematik kutilmasi o‘zgarmas: 
 
 


,
const
m
t
X
M
t
m
x
x



va korrelyatsiyali funksiyasi faqat bitta o‘zgaruvchi 
1
2
t
t



ga bog‘liq bo‘lishi 
kerak: 
 


  

 








.
;
,
,
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
o
1
o
1
1
dx
dx
x
x
W
m
t
x
m
t
x
t
X
t
X
M
t
t
K
K
x
x
xx
xx
 
























Tasodifiy jarayonlar 
 
t
X
va 
 
t
Y
larni bir-biriga statsionar bog‘langan, deb atash 
uchun ularning o‘zaro korrelyatsiyali funksiyasi faqat vaqtning surilishi 
1
2
t
t



ga 
bog‘liq bo‘lishi kerak, ya’ni 


 

xy
xy
K
t
t
K

2
1
,
. 
Tor ma’nodagi statsionar tasodifiy jarayonlar keng ma’noda ham, albatta 
statsionar bo‘ladi, biroq buning teskarisi bo‘lmaydi. Normal taqsimlangan tasodifiy 
jarayonlar uchun keng va tor ma’nodagi statsionarlik tushunchalari bir-biriga mos 
keladi, chunki ularning matematik kutilish va korrelyatsiyali funksiyasi 
ehtimolliklarning 
n
-o‘lchamli zichligini to‘liq aniqlaydi. Bundan keyin faqat keng 
ma’noda statsionar tasodifiy jarayonlar ustida so‘z yuritiladi. 
Agar tasodifiy jarayon statsionarlik shartiga javob bermasa, nostatsionar deyiladi. 
O‘tish jarayoni esa statsionar bo‘lmaydi. 
Boshqarish jarayonlaridagi statsionar tasodifiy jarayonlarni o‘rganishda o‘rta 
qiymatlarining ikki turi ishlatiladi: to‘plam bo‘yicha o‘rta va vaqt bo‘yicha o‘rta. 
To‘plam (ansambl) bo‘yicha o‘rta qiymat tasodifiy jarayonning bitta vaqt onida 
kechishlari (amalga oshirishlari) to‘plami bilan aniqlanadi: 
 
.
1
dx
x
xW
m
x





Bunda 
x
m
kattaligi 
X
tasodifiy kattaligi (ma’lum vaqt onidagi 
 
t
X
tasodifiy 
jarayon)ning ehtimoliy o‘rtachalashtirish onini ko‘rsatadi. Bunda tasodifiy kattalik – 
X
ning har bir ehtimoliy qiymati 
 
dx
x
W
1
ehtimollikka teng ulush bilan hisoblanadi. 
Vaqt bo‘yicha o‘rtacha qiymat
 
t
x
tasodifiy jarayonni cheksiz vaqt oralig‘i-
T
da 
bir marta kechishi bo‘yicha aniqlanadi, ya’ni: 
 
dt
t
x
T
x
T
T
T





2
1
lim
Umumiy holda vaqt bo‘yicha o‘rtacha qiymat tasodifiy jarayon –
 
t
X
ning har 
bir kechishida har xil bo‘ladi. Bundan tashqari, bitta tasodifiy jarayonning to‘plam 
bo‘yicha va vaqt bo‘yicha o‘rta qiymatlari bir xil emas. Masalan, 11.4-rasmdagi 
statsionar tasodifiy jarayonning har bitta kechishi shu bilan tavsiflanadi-ki, istalgan 
vaqt onida to‘plam bo‘yicha o‘rtacha qiymat 
,
0

x
m
ayni vaqtda qaysidir bitta 
kechishi – 
i
x
dagi vaqt bo‘yicha o‘rta qiymat 
.
0

i
x

---

11.4-rasm.
 Statsionar tasodifiy jarayon. 
 
 
11.4. Ergodik tasodifiy jarayonlar 
 
Shunday tasodifiy jarayonlar borki, ularning to‘plam bo‘yicha va vaqt bo‘yicha 
o‘rta qiymatlari bir-biriga teng, ya’ni 
x
m
x

. Bunday tasodifiy jarayonlar «Ergodik 
jarayon» deyiladi. 
Agar tasodifiy jarayon 
)
(
t
X
ning ehtimollik tavsiflari, jarayonning kechishi tartib 
raqamiga bog‘liq bo‘lmasa, bunday jarayon ergodik deyiladi. 
Bitta tasodifiy jarayon bitta ehtimollik tavsiflarga nisbatan ergodik bo‘lib, 
boshqalariga nisbatan noergodik bo‘lishi mumkin. Statsionar tasodifiy jarayon 
)
(
t
X
ning korrelyatsiya funksiyasiga quyidagicha shart yetarli bo‘ladi: 
 
.
0
lim
|
|





xx
K
Ergodik xususiyatning amaliy ahamiyati muhim. Ko‘plab tizimlarda o‘rta 
qiymatni aniqlash uchun tasodifiy jarayonni bir vaqt onining o‘zida eksperiment yo‘li 
bilan ko‘plab marta amalga oshirish ancha uzoq vaqt oralig‘ida alohida bitta 
“kechinma”ni kuzatishdan ko‘ra ancha murakkab. 
Ergodik tasodifiy jarayonning dispersiyasi: 
 


,
2
1
lim
2
dt
x
t
x
T
D
T
T
T
x






bunda 
 
t
x
– tasodifiy jarayonning istalgan bir amalga oshishi (kechishi). 
Ergodik tasodifiy jarayonning korrelyatsiya funksiyasi: 



;
)
(
)
(
2
1
lim
)
(
dt
x
t
x
x
t
x
T
t
K
T
T
T
xx









Agar 
0

x
bo’lsa, 
X 
x
i
 
t 
0 

---

 
  

.
2
1
lim
dt
t
x
t
x
T
K
T
T
T
xx








Korrelyatsiyali funksiyaning dastlabki qiymati 
)
(

xx
K
tasodifiy jarayonning 
dispersiyasiga teng: 
x
xx
D
K

)
0
(
. 
Ergodik tasodifiy jarayonlarning o‘zaro korrelyatsiyali funksiyasi: 
 
 






dt
y
t
y
x
t
x
T
K
T
T
T
xy










2
1
lim
, 
bu yerda 
 
t
x
, 
 
t
y
-tasodifiy jarayonlar 
 
t
X
va 
 
t
Y
ning istalgan kechishi (amalga 
oshishi); 
x
, 
y
– vaqt bo‘yicha o‘rta qiymatlar. 
Bu ifodadan kelib chiqadi: 
 
 
 
 
.
,








xy
yx
yx
xy
K
K
K
K
 

xy
K
funksiyasi 
 
t
X
va 
 
t
Y
tizimidagi ikkita tasodifiy jarayonlarning turli 
vaqt onlarida va bir-biridan 

vaqt oralig‘i narida turgan tasodifiy jarayonning 
ehtimoliy o‘zaro bog‘liqligini tavsiflaydi. 
 
0
xy
K
ning 
0


dagi qiymati bir vaqtdagi shunday bog‘lanishni ko‘rsatadi. Bir-
biriga ehtimollik bilan bog‘lanmagan tasodifiy jarayonlar 
 
t
X
va 
 
t
Y
uchun o‘zaro 
korrelyatsiyali
 
funksiya: 
 
.
0


xy
K