Sonlar nazariyasi

 
O’nlik sanoq sistemasida berilgan 4
x
87
u
6 soni 56 ga bo’linadi. Shu 
sonni toping. 
Yechilishi.
Masala shartidan quyidagi taqqoslamalarni tuzamiz: 
(
)
(
)



≡
≡
7
0
6
87
4
8
0
6
87
4
d
mo
y
x
d
mo
y
x
Birinchi taqqoslamadan 7
y
6 ning 8 ga bo’linishi va 8 ga bo’linish alomatiga asosan 
y
= 3 va 
y
= 7 qiymatlarni hosil qilamiz. 
Bu qiymatlarni ikkinchi taqqoslamag qo’yib,: 
4x8736 
≡
0 (
mod
7), 
4x8776 
≡
0 (
mod
7) 
taqqoslamalarni hosil qilamiz. Bu taqqoslamalrni quyidagi ko’rinishda tasvirlab 
olamiz 
400000 + 10000
x
+ 8736 
≡
0 (
mod
7), 4
x
≡
1 (
mod
7),
yoki 
400000 + 10000
x
+ 8776 
≡
0 (
mod
7), 4
x
≡
3 (
mod
7). 
Birinchi taqqoslama 
x
≡
2 (
mod
7), yoki 
x
= 7
t
+2 yechimga ega. Bu yerdan 
t
=0 
da 
x
1
=2 va 
t
=1 da 
x
2
=9 ni hosil qilamiz. 
t
ning boshqa qiymatlariga mo keluvchi 
x
ning qiymatlari yaramaydi. 
Ikkinchi taqqoslama 
x
≡
6 (
mod
7) yoki 
x
= 7
t
+ 6 yechimga ega. Bundan 
yagona qiymat 
x
3
= 6 ni hosil qilamiz. 
x 
ning hosil qilingan qiymatlarini berilgan 
sonning ifodasiga qo’yib, 428736, 498736, 468776 sonlarni hosil qilamiz. 
■
Misol 8. Quydagi taqqoslamani o’zaro tub modullar bo’yicha taqqoslamalar 
sistemasiga keltirib yeching: 
x
3
+ 2
x
+ 3 
≡
0 (
mod
15) . 
Yechilishi.
Berilgan taqqoslama quyidagi sistemaga teng kuchli: 

---

52 
(
)
(
)



≡
+
+
≡
+
+
.
3
0
3
2
5
0
3
2
3
3
d
mo
x
x
d
mo
x
x
Bu sistemaningn ikkinchi taqqoslamasi (
x
– 1)
x
(
x
+ 1) 
≡
0 (
mod
3) taqqoslamaga 
teng kuchli va u 
x 
ning barcha butun qiymatlari uchun o’rinli. Demak berilgan 
taqqoslama quyidagi taqqoslamaga teng kuchli bo’ladi 
x
3
+ 2
x
+ 3 
≡
0 (
mod
5), 
bu yerdan 
x
≡
2; 4 (
mod
5) ni hosil qilamiz. 
Berilgan 15 modul bo’yicha quyidagi yechimlarni hosil qilamiz: 
x
≡
2; 7; 12; 4; 9; 14 (
mod
15). 
■
Misol 9. Quyidagi chiziq qaysi butun nuqtalardan o’tadi: 
15
u
= 2
x
3
– 5
x
2
+ 4
x
+ 11, bu yerda – 2 < 
x
< 8 ? 
Yechilishi.
Chiziq tenglamasidan 2
x
3
– 5
x
2
+ 4
x
+ 11 
≡
0 (
mod
15)
taqqoslamaga ega bo’lamiz. Bu taqqoslama esa quyidagi sistemaga teng kuchli 
2
x
3
– 5
x
2
+ 4
x
+ 11 
≡
0 (
mod
5)
2
x
3
– 5
x
2
+ 4
x
+ 11 
≡
0 (
mod
3). 
Birinchi taqqoslama
x
≡
2; 4 (
mod
5) yechimlarga, ikkinchisi esa
x
≡
1; 2 (
mod
3) yechimlarga ega. 
Endi 
x
≡
2 (
mod
5)
x
≡
2 (
mod
5)
x
≡
4 (
mod
5)
x
≡
4 (
mod
5). 
x
≡
1 (
mod
3)
x
≡
2 (
mod
3)
x
≡
1 (
mod
3)
x
≡
2 (
mod
3), 
taqqoslamalarni yechib, 
x
≡
7; 2; 4; 14 (
mod
15) yechimlarni topamiz. 
Shartda ko’rsatilgan oraliqqa 
x
ning quyidagi qiymatlari tushadi: 
x
=7; 2; 4; - 1.
 
u
ning mos qiymatlari chiziqningn berilgan tenglamasidang topiladi. 
■
Misol 10. Taqqoslamalar sistemasini yeching: 
9
u
≡
15 
(
mod
12), 
7
x
– 3
u
≡
1
Yechilishi.
Birinchi taqqoslamaning ikkala tomonini va modulini 3 ga 
qisqartirib, 3
u
≡
5 (
mod
4), yoki 3
u
≡
9 (
mod
4), yoki 
u
≡
3 (
mod
4) ni hosil qilamiz. 
12 modul bo’yicha 
u
≡
3; 7; 11 (
mod
12) yechimlar kelib chiqadi. 
Bu yerdan quyidagi uchta sistemani hosil qilamiz: 
7
x
≡
1 + 3
u
7
x
≡
1 + 3
u
7
x
≡
1 + 3
u
(
mod
12), (
mod
12), (
mod
12) 
u
≡
3
u
≡
7
u
≡
11 
Bu sistemalarni soddalashtirib, 
x
≡
10
x
≡
10
x
≡
10 
(
mod
12), (
mod
12), (
mod
12)
u
≡
3
u
≡
7
u
≡
11. 
yechimlarni hosil qilamiz. 
■
Misol 11.
 
Taqqoslamalar sistemasin yeching: 
x
+ 2
u
≡
3 

---

53 
(
mod
5). 
4
x
+ 
u
≡
2
Yechilishi.
Ikkinchi taqqoslamani 2 ga ko’paytirib, hosil bo’lgan 
taqqoslamadan birinchi taqqoslamani hadma-had ayiramiz: 7
x
≡
1 (
mod
5), bu yerdan 
x
≡
3 (
mod
5) ni hosil qilamiz. Birinchi taqqoslamani ikkala tomonini 4 ga 
ko’paytirib, hosil qilingan taqqoslamadan ikkinchisini ayiramiz: 
u
≡
0 (
mod
5).
Tekshirish: 
x
≡
3 
(
mod
5) 
u
≡
2
sistema berilgan sistemaning yechimidan iborat ekanligini ko’rsatadi. 
■
MAShQLAR 
110.
Quyidagi taqqoslamalar sistemalarini yeching: 
a)
x
≡
4 (
mod
5) b)
x
≡
1 (
mod
25) 
x
≡
1 (
mod
12) ;
x
≡
2 (
mod
4) ;
x
≡
7 (
mod
14)
x
≡
3 (
mod
7) 
x
≡
4 (
mod
9) 
c) 2
x
≡
7 (
mod
13) d) 4
x
≡
7 (
mod
13)
5
x
≡
8 (
mod
17)
x
≡
2 (
mod
17) 
3
x
≡
7 (
mod
31) ; 5
x
≡
3 (
mod
9) ; 
14
x
≡
35 (
mod
19) 8
x
≡
4 (
mod
14) 
e) 3
x
≡
7 (
mod
10) f) 4
x
≡
1 (
mod
9) 
2
x
≡
5 (
mod
15) ; 5
x
≡
3 (
mod
7) ;
7
x
≡
5 (
mod
12) 4
x
≡
5 (
mod
12) 
g) 5
x
≡
1 (
mod
12) h) 3
x
≡
1 (
mod
10) 
5
x
≡
2 (
mod
8) ; 4
x
≡
3 (
mod
5) ;
7
x
≡
3 (
mod
11) 2
x
≡
7 (
mod
9) 
i) 3
x
≡
5 (
mod
7) j) 5
x
≡
200 (
mod
251) 
2
x
≡
3 (
mod
5) ; 11
x
≡
192 (
mod
401)
3
x
≡
3 (
mod
9) 3
x
≡
-15 (
mod
907) . 
111.
2, 3, 4 ga bo’linganida 1 qoldiq qoladigan va 5 ga qoldiqsiz bo’linadigan 
barcha natural sonlarni toping. 
112.
4, 5, 7 ga bo’linganida mos ravishda 3, 4, 5 qoldiq qoladigan 200 va 500 
sonlari orasidagi barcha butun sonlarni toping. 
113*.
Abssissalar o’qiga perpendikulyar bo’lgan bitta chiziqda yotadigan 4
x
– 
7
u
= 9, 2
x
+ 9
u
= 15 va 5
x
– 13
u
= 12 to’g’ri chiziqlarning butun nuqtalarini toping. 

---

54 
114.
Quyidagi taqqoslamalar sistemalarini yeching: 
a)
x
≡
a
(
mod
6) b)
x
≡
2 (
mod
6) 
x
≡
1 (
mod
8) ;
x
≡
a (
mod
8) ;
c)
x
≡
5 (
mod
18) d)
x
≡
a
(
mod
7)
x
≡
8 (
mod
21)
x
≡
b
(
mod
5) 
x
≡
a
(
mod
35) ;
x
≡
c
(
mod
3) . 
115.
Quyidagi sistemalar yechimga ega bo’ladigan
a
ning barcha qiymatlarini 
toping: 
a)
x
≡
a
(
mod
6) b)
x
≡
3 (
mod
11) c) 2
x
≡
a
(
mod
4) 
x
≡
1 (
mod
10) ;
x
≡
11(
mod
20) ; 3
x
≡
4 (
mod
10) . 
x
≡
2 (
mod
21)
x
≡
1 (
mod
15)
x
≡
3 (
mod
11)
x
≡
a
(
mod
18) 
116*.
O’nlik sanoq sistemasida 
xuz
138 ko’rinishda yozilgan 
N 
soni 7 ga 
bo’linadi, 138
xuz
soni esa 13 ga bo’linganida 6 qoldiq qoladi va 
x
1
u
3
z
8 sonini 11ga 
bo’linganida 5 qoldiq qoladi.
N 
sonini toping. 
117*.
13
xu
45
z
sonini 792 ga bo’linishini bilgan holda
x, u, z 
larni toping. 
118*.
Shunday uch xonali sonlarni topingki, ularni har birining o’ng tomoniga 
shu sondan keyin keladigan sonni yozsak aniq kvadrat hosil bo’lsin. 
119*.
Noma’lum sonni 7 ga bo’lsak, 3 qoldiq hosil bo’ladi, shu noma’lumning 
kvadratini 7
2
ga bo’lsak 44 qoldiq hosil bo’ladi; uning kubini 7
3
ga bo’lsak 111 
qoldiq hosil bo’ladi. Noma’lum sonni toping. 
120.
Quydagi taqqoslamalarni o’zaro tub modullar bo’yicha taqqoslamalar 
sistemasiga keltirib yeching: 
a) 13
x
≡
32 (
mod
28); b) 245
x
≡
405 (
mod
475); c) 78
x
≡
49 (
mod
77); 
d) 56
x
≡
81 (
mod
45); ye) 
x
2
≡
- 1 (
mod
20); g) 
x
2
≡
- 1 (
mod
85). 
121.
Quyidagi chiziq qaysi butun nuqtalardan o’tadi: 
14
y
= 3
x
3
– 4
x
2
+ 11
x
+ 4, bu yerda - 7 <
x
< 7? 
122.
Quyidagi taqqoslamalar sistemalarini yeching: 
a)
x
+ 3
u
≡
5 b)
x
≡
2 
(
mod
7) ; (
mod
4) ;
4
x
≡
5
x
– 2
u
≡
1 
c) 9
u
≡
15 d) 3
x
– 5
u
≡
1 
(
mod
12) ; (
mod
12) ; 
3
x
- 7
u
≡
1 9
u
≡
15 
e)
x
+ 2
u
≡
0 f) 3
x
+ 4
u
≡
29 
(
mod
5) ; (
mod
143) ; 
3
x
+ 2
u
≡
2 2
x
– 9
u
≡
- 84
g)
x
+ 2
u
≡
4 h) 4
x
- 
u
≡
2
(
mod
5) ; (
mod
6) .

---

55 
3
x
+
u
≡
2 2
x
+ 2
u
≡
0
123.
Quyidagi tenglamalar sistemasini butun sonlarda yeching: 
a)
x
+ 2
y
+ 5
z
= 1 b)
x
– 
y
– 3
z
= 1 
3
x
+
y
+ 5
z
= 3 ;
x
+ 
y
– 2
z
= 1 . 
124.
3
x
– 
u
+ 1 2
x
+ 3
u
– 1 
va ifodalar butun son bo’ladigan. 
7
7 
x
va
u 
ninng butun qiymatlarini toping,