Sonlar nazariyasi

4-Misol 
. Quyidagi taqqoslamani Eyler usuli bilan yeching: 
9
x
≡
8 (
mod
34). 
Yechilishi.
(9, 34) = 1 bo’lganligi uchun berilgan taqqoslama yagona yechimga 
ega bo’ladi. 
ϕ
(34) = 16 ni hisoblab quyidagilarga ega bo’lamiz: 
x
≡
8
⋅
9
15
≡
8
⋅
3
30
≡
8
⋅
3
14
≡
8
⋅
(2187)
2
≡
8
⋅
11
2 
≡
16 (
mod
34). 
■
Misol 5. Taqqoslamani uzluksiz kasrlar orqali yeching:
285
x
≡
177 (
mod 
924). 
Yechilishi.
(285, 924) = 3 va 177 = 59
⋅
3 bo’lganligi uchun berilgan taqqoslama 
uchta yechimga ega. 
Taqqoslamaning ikkala tomonini va modulini 3 ga bo’lamiz: 
95
x
≡
59 (
mod
308). 
95
308
kasrni uzluksiz kasrga yoyamiz:
95
308
= (3, 4, 7, 1, 2). Munosib kasrlar 
jadvalini tuzamiz: 
q
i
 
3 
4 
7 
1 
2 
P
i
 
1 
3 
13 94 107 308 
Shunday qilib, 
P
n
-1
= 
P
4
= 107, demak,

---

44
x
≡
(-1)
4
⋅
107
⋅
59 (
mod
308),
Bu yerdan natija taqqoslamaning yechimi 
x
≡
153 (
mod
308) ni hosil qilamiz. 
Berilgan taqqoslamaning yechimlari quyidagicha tasvirlanadi: 
x
≡
153; 461; 769 (
mod
924). 
■
Birinchi darajali taqqoslamalarni birinchi darajali ikki noma’lumli aniqmas 
tenglamalarni (diofant tenglamalari) yechishga tatbig’ini qarab chiqamiz. 
Quyidagi aniqmas tenglama 
ax + by = c; a, b, c 
∈
 
Z
ni yechish talab qilinsin. Agar
(a, b)
= 1 bo’lsa, u holda berilgan tenglama butun 
yechimlarga ega bo’lib, uning umumiy yechimi quyidagicha ifodalanadi: 
x = x
1
 + bt
, 
y = y
1
 – at 
yoki 
b
manfiy bo’lganda quyidgicha ifodalash qulay:
x = x
1
 - bt
, 
y = y
1
 + at
. 
Bu formulalarda 
x
1
va 
y
1
lar 
x
va 
y 
larning tenglamani qanoatlantiradigan qandaydir 
qiymatlaridan iborat va 
 t 
∈
 
Z
. 
Agar
(a, b) = d
> 1 va
c
soni 
d 
ga bo’linmasa, u holda 
ax + by = c
tenglama 
butun sondagi yechimlarga ega emas. 
Birinchi darajali aniqmas tenglamalar nazariyasidan noma’lumlarni xususiy 
yechimlarini topishning bir necha usullari mavjud. 
Taqqoslamalar yordamida bu xususiy yechim quyidagicha topiladi:
ax + by = c
dan taqqoslamaning ma’nosi haqidagi teoremaga ko’ra 
ax 
≡
c (mod b) 
bir 
noma’lumli taqqoslamani hosil qilamiz, bu yerda
b
o’z ishorasi bilan olinadi, 
taqqoslamani qanoatlantiradigan 
x 
ning qiymati 
x
1
sifatida olinadi, 
y
1
ning qiymati esa 
bevosita berilgan tenglamaga 
x
1 
ni qo’yib topiladi. 
Misol 6. Quyidagi tenglamani butun sonlarda yechimlarini toping: 
39
x
– 22
y
= 10. 
Yechilishi.
Tenglamadan quyidagi taqqoslama kelib chiqadi: 
39
x
≡
10 (
mod
22). 
Bu taqqoslamadagi koeffisiyentlarni 22 modul bo’yicha eng kichik musbat 
chegirmalariga keltirsak, 17
x
≡
10 (
mod
22) ni hosil qilamiz, bu yerdan 
x
1
= 20 ni 
hosil qilamiz. Bu qiymatni berilgan tenglamaga qo’yib, 
y
1
= 35 ni topamiz. Demak, 
berilgan tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi: 



+
=
+
=