33 – 35
):
33*.
1)
sin
;
x
xdx
∫
2)
sin
;
x
xdx
∫
x
2
cos
xdx
; 3)
ln
;
x xdx
∫
4)
ln
;
x xdx
∫
2 ln
.
x xdx
∫
34*.
1)
cos 2
;
x
xdx
∫
2)
sin 3
;
x
xdx
∫
3)
sin
;
3
x
x
dx
∫
4)
cos
.
4
x
x
dx
∫
35*.
1)
arcsin
;
xdx
∫
2
x
∙xdx
;
2)
arccos
;
xdx
∫
3
x
∙xdx
; 3)
arcc tg .
xdx
∫
5
x
∙xdx
; 4)
2
tg
nxdx
∫
;
5)
1
1
2
5
10
x
x
x
dx
+
−
−
∫
; 6)
3
1
1
x
x
e
dx
e
+
+
∫
;
7)
2
(3 4 )
x
x
dx
+
∫
;
8)
–
–2
(
)
x
x
e
e
dx
+
∫
; 9)
4
2
1
1
x
x
e
dx
e
−
−
∫
; 10)
x
x
e dx
e
π +
∫
;
11)
2
x
x e dx
−
⋅
∫
;
12)
x
x
dx
e
e
−
+
∫
; 13)
2
ln
xdx
x
∫
.
96
97
44–46
ANIQ INTEGRAL.
NYUTON–LEYBNIS FORMULASI
2-rasmda tasvirlangan shakl
egri chiziqli trapetsiya
deyiladi. Bu
shakl yuqoridan
y
=
f
(
x
) funksiyaning grafigi bilan, quyidan [
a
,
b
]
kesma bilan, yon tomonlardan esa
x=a, x=b
to‘g‘ri chiziqlarning
kesmalari bilan chegaralangan. [
a
;
b
] kesma egri chiziqli trepetsiyaning
asosi
deyiladi.
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini qaysi formulaga ko‘ra hisoblaymiz,
degan savol tug‘iladi.
Bu yuzni
S
deb belgilaylik.
S
yuzni
f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi yordamida hisoblash mumkin ekan. Shunga oid mulohazalarni
keltiramiz.
2-rasm. 3-rasm.
[
a
;
x
] asosli egri chiziqli trapetsiyaning yuzini
S
(
x
) deb belgilay-
miz (3-rasm), bunda
x
shu [
a
;
b
] kesmadagi istalgan nuqta:
x
=
a
bo‘l-
ganda [
a
;
x
] kesma nuqtaga aylanadi, shuning uchun
S
(
a
)=0;
x
=
b
da
S
(
b
) =
S.
S
(
x
) ni
f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lishini, ya’ni
S
′(
x
) =
f
(
x
) ekanini ko‘rsatamiz.
96
97
4-rasm.
S
(
x
+
h
) –
S
(
x
) ayirmani ko‘raylik, bunda
h
>0 (
h
<0 hol ham
xud di shunday ko‘riladi). Bu ayirma asosi [
x
;
x
+
h
] bo‘lgan egri chiziqli
trapetsiya ning yuziga teng (4-rasm). Agar
h
son kichik bo‘lsa, u holda
bu yuz taqriban
f
(
x
)
·
h
ga teng, ya’ni
S
(
x
+
h
) –
S
(
x
) ≈
f
(
x
)
·
h
. Demak,
(
)
( )
( ).
S x h S x
f x
h
+ −
≈
Bu taqribiy tenglikning chap qismi
h
→0 da hosilaning ta‘rifiga ko‘ra
S
′(
x
) ga intiladi. Shuning uchun
h
→0 da
S
′(
x
)=
f
(
x
) tenglik hosil
bo‘ladi. Demak,
S
(
x
) yuz
f
(
x
) funksiya uchun boshlang‘ich funksiyasi
ekan.
▲
Boshlang‘ich funksiya
S
(
x
) dan ixtiyoriy boshqa boshlang‘ich
F
(
x
)
funksiya o‘zgar mas songa farq qiladi, ya’ni
F
(
x
)
=S
(
x
)
+C.
Bu tenglikdan
x=a
da
F
(
a
)
= S
(
a
)
+C
va
S
(
a
) = 0 bo‘lgani uchun
C=F
(
a
). U holda (1) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
S
(
x
)
=F
(
x
)
–F
(
a
)
.
Bundan
x=b
da
S
(
b
)
=F
(
b
)
– F
(
a
)
ekanini topamiz.
Demak,
egri chiziqli trapetsiyaning yuzini
(2-rasm) quyidagi formula
yordamida hisoblash mumkin:
S=F
(
b
)
–F
(
a
), (2)
bunda
F
(
x
) – berilgan
f
(
x
) funksiyaning istalgan boshlang‘ich funk-
siyasi.
98
99
Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash
f
(
x
)
funksiyaning
F
(
x
) boshlang‘ich funksiyasini topishga, ya’ni
f
(
x
) funksiyani
integrallashga keltiriladi.
F
(
b
)
– F
(
a
) ayirma
f
(
x
) funksiyaning [
a; b
] kesmadagi
aniq integrali
deyiladi va bunday belgilanadi:
( )
b
a
f x dx
∫
(o‘qilishi: “
a
dan
b
gacha integral ef iks de iks“), ya’ni
( )
( )
( ).
b
a
f x dx F b F a
=
−
∫
(3)
(3) formula
Nyuton–Leybnis formulasi
deb ataladi.
(2) va (3) formulaga muvofiq:
( ) .
b
a
S
f x dx
=
∫
(4)
Integralni hisoblashda, odatda, quyidagicha belgilash kiritiladi:
F
(
b
)
–F
(
a
)=
F
(
x
)
b
a
. U holda (3) formulani shunday yozish mumkin:
( ) .
b
a
S
f x dx
=
∫
=
F
(
x
)
b
a
. (5)
Shu o‘rinda qisqacha
tarixiy ma’lumotni
aytish joiz.
Egri chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblash masalasi
aniq integral tushunchasiga olib kelgan. Uzluksiz
f
(
x
) funksiya
aniqlangan [
a
;
b
] kesma
a
=
x
0
,
x
1
..,
x
n
–1
, ...
x
n
= b
nuqtalar yordamida o‘zaro
teng [
x
k
;
x
k
+1
] (
k
=0, 1, ...
n
–1) kesmalarga bo‘lingan va har bir [
x
k
;
x
k
+1
] kes-
madan ixtiyoriy ξ
k
nuqta olingan. [
x
k
;
x
k
+1
] kesma uzunligi Δ
x
k
=x
k
+1
–
x
k
ni
berilgan
f
(
x
) funksiyaning ξ
k
nuqtadagi qiymati
f
(ξ
k
) ga ko‘paytirilgan va
ushbu
S
n
=
f
(ξ
0
)Δ
x
0
+
f
(ξ
1
)Δ
x
1
+...+
f
(ξ
k–
1
)Δ
n
–1
(6)
yig‘indisi tuzilgan, bunda har bir qo‘shiluvchi asosi Δ
x
k
va balandligi
f
(ξ
k
) bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzidir.
S
n
yig‘indi egri chiziqli
trapetsiyaning yuzi
S
ga taqriban teng:
S
n
≈
S
(5-rasm).
98
99
5-rasm.
(6) yig‘indi
f
(
x
) funksiyaning [
a
;
b
] kesmadagi
integral yig‘indisi
deyiladi. Agar
n
cheksizlikka intilganda (
n
→∞), Δ
x
k
nolga intilsa
(Δ
x
k
→
0), u holda
S
n
integral yig‘indi biror songa intiladi. Ayni shu
son
f
(
x
) funksiyaning [
a
;
b
] kesmadagi
integrali
deb ataladi.
1-misol.
6-rasmda tasvirlangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini
toping.
(4) formulaga muvofiq
4
2
1
S
x dx
=
∫
. Bu integralni Nyuton–Leybnis
formulasi (3) yordamida hisoblaymiz.
f
(
x
)
=x
2
funksiyaning bosh-
lan g‘ich funksiyalaridan biri
3
( )
3
x
F x
=
ekani ravshan. Demak,
4
3
2
3
3
1
4 1
1
(4 1 )
63 21
1
3
3
3
x
S
x dx
=
=
=
−
= ⋅
=
∫
(kv. birlik).
Javob
:
S
= 21 kv. birlik.
▲
2-misol.
7-rasmdagi shtrixlangan soha yuzini toping.
Shtrixlangan soha egri chiziqli trapetsiya bo‘lib, u yuqoridan
y
=cos
x
funksiyaning grafigi, pastdan esa
;
2 2
π π
−
kesma bilan chegaralangan.
y
=cos
x –
juft funksiya, soha
Oy
o‘qqa nisbatan simmetrik. Shu ma'lumotlarga
ko‘ra, soha yuzi
2
0
cos
xdx
π
∫
yuzining ikki barobariga teng deyish mumkin.
100
101
6-rasm. 7-rasm.
Nyuton–Leybnis formulasi va (5) formulaga ko‘ra:
2
2
–
–
2
2
cos
sin
sin
sin(
) 1 ( 1) 1 1 2 (kv. birlik).
2
2
S
xdx
x
−
∆ =
=
=
−
= − − = + =
∫
π
π
π
π
π
π
p
p
p
p
p
p
Javob.
2 kv.birlik.
▲
3-misol.
0
cos
xdx
π
∫
p
aniq integralni hisoblang.
Nyuton–Leybnis formulasi va (5) formulasiga ko‘ra:
0
0
cos
sin
sin
sin 0 0.
xdx
x
π
π
π
∆
=
=
−
=
∫
p
0
π
0
0
cos
sin
sin
sin 0 0.
xdx
x
π
π
π
∆
=
=
−
=
∫
p
Javob
: 0.
▲
0> Dostları ilə paylaş: |