Algebra va analiz asoslari



Yüklə 5,79 Kb.
Pdf görüntüsü
səhifə27/30
tarix13.12.2023
ölçüsü5,79 Kb.
#175358
1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   30
11-sinf-Matematika-1-qism

33 – 35
):
33*.
1)
sin
;
x
xdx

2) 
sin
;
x
xdx

x
2
cos
xdx
; 3) 
ln
;
x xdx

4)
ln
;
x xdx

2 ln
.
x xdx

34*.
1)
cos 2
;
x
xdx

2) 
sin 3
;
x
xdx

3) 
sin
;
3
x
x
dx

4) 
cos
.
4
x
x
dx

35*.
1) 
arcsin
;
xdx

2
x
∙xdx

2) 
arccos
;
xdx

3
x
∙xdx
; 3) 
arcc tg .
xdx

5
x
∙xdx
; 4) 
2
tg
nxdx

;
5) 
1
1
2
5
10
x
x
x
dx
+



; 6) 
3
1
1
x
x
e
dx
e
+
+

;
7) 
2
(3 4 )
x
x
dx
+

;
8) 

–2
(
)
x
x
e
e
dx
+

; 9) 
4
2
1
1
x
x
e
dx
e



; 10) 
x
x
e dx
e
π +

;
11) 
2
x
x e dx



;
12) 
x
x
dx
e
e

+

; 13) 
2
ln
xdx
x

.


96
97
44–46
ANIQ INTEGRAL. 
NYUTON–LEYBNIS FORMULASI
2-rasmda tasvirlangan shakl 
egri chiziqli trapetsiya
deyiladi. Bu 
shakl yuqoridan 


f
(
x
) funksiyaning grafigi bilan, quyidan [
a

b
]
kesma bilan, yon tomonlardan esa 
x=a, x=b
to‘g‘ri chiziqlarning 
kesmalari bilan chegaralangan. [
a
;
 b
] kesma egri chiziqli trepetsiyaning 
asosi
deyiladi.
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini qaysi formulaga ko‘ra hisoblaymiz, 
degan savol tug‘iladi.
Bu yuzni 
S
deb belgilaylik. 
S
yuzni 
f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich 
funksiyasi yordamida hisoblash mumkin ekan. Shunga oid mulohazalarni 
keltiramiz.
2-rasm. 3-rasm.
[
a

x
] asosli egri chiziqli trapetsiyaning yuzini 
S
(
x
) deb belgilay- 
miz (3-rasm), bunda 
x
shu [
a

b
] kesmadagi istalgan nuqta: 
x
=
a
bo‘l- 
ganda [
a

x
] kesma nuqtaga aylanadi, shuning uchun 
S
(
a
)=0; 
x
=
b
da
S
(
b
) = 
S.

(
x
) ni
f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lishini, ya’ni 

′(
x
) = 
f
(
x
) ekanini ko‘rsatamiz.


96
97
4-rasm.

S
(
x
+
h
) –
 S
(
x
) ayirmani ko‘raylik, bunda 
h
>0 (
h
<0 hol ham
xud di shunday ko‘riladi). Bu ayirma asosi [
x

x
+
h
] bo‘lgan egri chiziqli 
trapetsiya ning yuziga teng (4-rasm). Agar 
h
son kichik bo‘lsa, u holda 
bu yuz taqriban 
f
(
x

·
h
ga teng, ya’ni 
S
(
x
+
h
) –
S
(
x
) ≈ 

(
x

·
h
. Demak, 
(
)
( )
( ).
S x h S x
f x
h
+ −

Bu taqribiy tenglikning chap qismi 
h
→0 da hosilaning ta‘rifiga ko‘ra 
S
′(
x
) ga intiladi. Shuning uchun 
h
→0 da 
S
′(
x
)=
f
(
x
) tenglik hosil
bo‘ladi. Demak, 
S
(
x
) yuz 

(
x
) funksiya uchun boshlang‘ich funksiyasi
ekan.

Boshlang‘ich funksiya 
S
(
x
) dan ixtiyoriy boshqa boshlang‘ich 
F
(
x
)
funksiya o‘zgar mas songa farq qiladi, ya’ni
F
(
x
)
=S
(
x
)
+C.
Bu tenglikdan 
x=a
da 
F
(
a

= S
(
a
)
+C
va 
S
(
a
) = 0 bo‘lgani uchun
C=F
(
a
). U holda (1) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
S
(
x
)
=F
(
x
)
–F
(
a
)

Bundan 
x=b
da 
S
(
b
)
=F
(
b
)
– F
(
a
)
 
ekanini topamiz.
Demak, 
egri chiziqli trapetsiyaning yuzini
(2-rasm) quyidagi formula 
yordamida hisoblash mumkin:
S=F
(
b
)
–F
(
a
), (2)
bunda 
F
(
x
) – berilgan 

(
x
) funksiyaning istalgan boshlang‘ich funk-
siyasi.


98
99
Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash 
f
(
x

funksiyaning 
F
(
x
) boshlang‘ich funksiyasini topishga, ya’ni 
f
(
x
) funksiyani 
integrallashga keltiriladi. 
F
(
b

– F
(
a
) ayirma 

(
x
) funksiyaning [
a; b
] kesmadagi 
aniq integrali
deyiladi va bunday belgilanadi: 
( )
b
a
f x dx

(o‘qilishi: “
a
dan
 b
gacha integral ef iks de iks“), ya’ni
( )
( )
( ).
b
a
f x dx F b F a
=


(3)
(3) formula 
Nyuton–Leybnis formulasi
deb ataladi.
(2) va (3) formulaga muvofiq:
( ) .
b
a
S
f x dx
=

(4)
Integralni hisoblashda, odatda, quyidagicha belgilash kiritiladi:
F
(
b
)
–F
(
a
)=
F
(
x
)
b
a
. U holda (3) formulani shunday yozish mumkin:
( ) .
b
a
S
f x dx
=


F
(
x
)
b
a
. (5)
Shu o‘rinda qisqacha 
tarixiy ma’lumotni
aytish joiz.
Egri chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblash masalasi
aniq integral tushunchasiga olib kelgan. Uzluksiz 

(
x
) funksiya 
aniqlangan [
a
;
 b
] kesma 
a
=
x
0

x
1
.., 
x
n
–1
, ... 
x
n
= b
nuqtalar yordamida o‘zaro 
teng [
x
k
;
 x
k
+1
] (
k
=0, 1, ... 
n
–1) kesmalarga bo‘lingan va har bir [
x
k
;
 x
k
+1
] kes-
madan ixtiyoriy ξ
k
nuqta olingan. [
x
k

x
k
+1
] kesma uzunligi Δ
x
k
=x
k
+1

x
k
 
ni 
berilgan 

(
x
) funksiyaning ξ
k
nuqtadagi qiymati
f

k
) ga ko‘paytirilgan va 
ushbu
S
n
=


0

x
0
+


1

x
1
+...+


k–
1

n
–1
(6) 
yig‘indisi tuzilgan, bunda har bir qo‘shiluvchi asosi Δ
x
k
va balandligi


k
) bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzidir. 
S
n
yig‘indi egri chiziqli
trapetsiyaning yuzi 
S
ga taqriban teng:
 S
n

S
(5-rasm).


98
99
5-rasm.
(6) yig‘indi 

(
x
) funksiyaning [
a
;
 b
] kesmadagi 
integral yig‘indisi
deyiladi. Agar 
n
cheksizlikka intilganda (
n
→∞), Δ
x
k
nolga intilsa 

x
k

0), u holda 
S
n
integral yig‘indi biror songa intiladi. Ayni shu
son

(
x
) funksiyaning [
a
;
 b
] kesmadagi 
integrali 
deb ataladi.
1-misol.
6-rasmda tasvirlangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini 
toping.

(4) formulaga muvofiq 
4
2
1
S
x dx
=

. Bu integralni Nyuton–Leybnis 
formulasi (3) yordamida hisoblaymiz. 

(
x
)
=x
2
funksiyaning bosh- 
lan g‘ich funksiyalaridan biri 
3
( )
3
x
F x
=
ekani ravshan. Demak, 
4
3
2
3
3
1
4 1
1
(4 1 )
63 21
1
3
3
3
x
S
x dx
=
=
=

= ⋅
=

(kv. birlik).
Javob


= 21 kv. birlik. 

2-misol.
7-rasmdagi shtrixlangan soha yuzini toping.
 
Shtrixlangan soha egri chiziqli trapetsiya bo‘lib, u yuqoridan 
y
=cos

funksiyaning grafigi, pastdan esa 
;
2 2
π π







kesma bilan chegaralangan. 
y
=cos
x – 
juft funksiya, soha 
Oy 
o‘qqa nisbatan simmetrik. Shu ma'lumotlarga 
ko‘ra, soha yuzi 
2
0
cos
xdx
π

yuzining ikki barobariga teng deyish mumkin.


100
101


6-rasm. 7-rasm.
Nyuton–Leybnis formulasi va (5) formulaga ko‘ra:
2
2


2
2
cos
sin
sin
sin(
) 1 ( 1) 1 1 2 (kv. birlik).
2
2
S
xdx
x

∆ =
=
=

= − − = + =

π
π
π
π
π
π
p
p
p
p
p
p
Javob.
2 kv.birlik. 

3-misol. 
 
0
cos
xdx
π

p
aniq integralni hisoblang.

Nyuton–Leybnis formulasi va (5) formulasiga ko‘ra:
0
0
cos
sin
sin
sin 0 0.
xdx
x
π
π
π

=
=

=

p
0
π
0
0
cos
sin
sin
sin 0 0.
xdx
x
π
π
π

=
=

=

p
Javob
: 0. 


Yüklə 5,79 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   22   23   24   25   26   27   28   29   30




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin