Mavzu 07 oliy matematika fan

---

Oliy matematika kafedrasi 
dotsenti 
Kucharov Olimjon 
Ruzimuratovich 
Ikkinchi tartibli egri chiziqlar. Aylana 
va Ellips.
 
Mavzu 
07 
OLIY MATEMATIKA
FAN: 

---

Reja: 
1. Ikkinchi tartibli egri chiziq tushunchasi 
3. Ellips 
2. Aylana 
Олий математика 
4. Giperbola 
5. Parabola 

---

Ikkinchi tartibli egri chiziq 
Ma’lumki, tekislikda toʻgʻri chiziq 
x
va 
y
ga nisbattan birinchi darajali 
A
x
+B
y
+C=0 tenglama bilan analitik ifodalanadi. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar 
x va y oʻzgaruvchilarga nisbattan ikkinchi darajali tenglamaning umumiy 
koʻrinishi quyidagicha boʻladi:
Odatda bu tenglama ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi deb 
yuritiladi. Ushbu sodda koʻrinishdagi ikkinchi tartibli egri chiziqlardan aylana, 
ellips, giperbola va parabola toʻgʻrisida gaplashamiz.
0
2
2






F
Ey
Dx
Cy
Bxy
Ax

---

Aylana 
Ta
ʻ
rif:
Berilgan markaz deb ataluvchi nuqtadan bir xil uzoqlikda 
joylashgan nuqtalarning geometrik oʻrni aylana deb ataladi. 
Markazi 
C
(
a, b
) nuqtada va radiusi 
R 
ga teng b
oʻlgan aylana tenglamasi 
quyidagicha boʻladi:
 
 
 

(𝒙 − 𝒂)
𝟐
+(𝒚 − 𝒃)
𝟐
= 𝑹
𝟐

(1) 
 
 
X 
Y 
0 
a 
b 
M(
x,y
) 
C 
R 
x 
y 

---

Agar (1) tenglamadagi qavslarni ochsak 
𝑥
2
− 2𝑎𝑥 + 𝑎
2
+ 𝑦
2
− 2𝑏𝑦 + 𝑏
2
= 𝑅
2
ni hosil qilamiz. Bundan esa 
−2𝑎 = 𝑚, −2𝑏 = 𝑛, 𝑎
2
+ 𝑏
2
− 𝑅
2
= 𝑝
almashtirish bajarsak
𝑥
2
+ 𝑦
2
+ 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 + 𝑝 = 0 
(2)
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama aylananing umumiy 
tenglamasi deyiladi.

---

Agar (1) tenglamadagi 
a
=0, 
b
=0 boʻlsa
𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑅
2
(3) 
tenglama hosil boʻladi. Bu tenglama markazi koordinatalar boshida 
va radiusi 
R
ga teng boʻlgan aylana tenglamasidir.
x 
y 
0 
M(
x,y
) 
R 

---

Misol: 
𝑥
2
+ 𝑦
2
− 6𝑥 + 4𝑦 − 23 = 0 
aylananing radiusi va markazi 
topilsin. 
Yechish: 
𝑥
2
+ 𝑦
2
− 6𝑥 + 4𝑦 − 23 = 0 
tenglamaning chap tomonini 
toʻla kvadratdan iborat ifodalarga ajratamiz:
(𝑥
2
−6𝑥 + 9) + (𝑦
2
+4𝑦 + 4) − 13 − 23 = 0
(𝑥 − 3)
2
+(𝑦 + 2)
2
−36 = 0
(𝑥 − 3)
2
+(𝑦 + 2)
2
= 36
Bu tenglamani (1) tenglama bilan solishtirsak, 
a
=3, 
b
=-2, 
R
=6 
ekanligi kelib chiqadi. 

---

Ellips 
Taʻrif:
Ellips deb, har bir nuqtasidan berilgan ikki 
𝐹
1
va 
𝐹
2
nuqtagacha 
(fokusgacha) masofalar yigʻindisi 
𝐹
1
𝐹
2
dan katta oʻzgarmas 2
a
miqdorga teng 
nuqtalarning geometrik oʻrniga aytiladi.
x 
y 
𝐹
1
(
c,0) 
𝐹
2
(
-c,0
) 
M(
x,y
) 
B(
0,b
) 
A(
a,0
) 
B(
0,-b
) 
A(
-a,0
) 
O 

---

Ellipsning kanonik tenglamasi 
𝑥
2
𝑎
2
+
𝑦
2
𝑏
2
= 1
(1) 
boʻlib, ellips koordinata oʻqlariga nisbattan simmetrikdir.
a 
va 
b
parametrlar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim oʻqlari deb 
ataladi.
a
>
b
boʻlsin, u holda 
𝐹
1
va 
𝐹
2
fokuslar 
OX 
oʻqida joylashgan boʻlib 
koordinata boshidan 
𝑐
2
= 𝑎
2
− 𝑏
2
, 𝑐 = 𝑎
2
− 𝑏
2
 
masofada
 
boʻladi. 
𝑐
𝑎
= 𝜀 < 1
 
nisbat ellipsning 
ekssentrisiteti
deb ataladi. Ellipsning 
M(
x,y
) nuqtasidan fokuslargacha boʻlgan masofalar (fokal radius 
vektorlar) 
𝑟
1
= 𝑎 − 𝜀𝑥, 𝑟
2
= 𝑎 + 𝜀𝑥

(2) formulalar orqali aniqlanadi.

---

Agar 
a
=
b 
b
oʻlsa (1) tenglama 
𝑥
2
+ 𝑦
2
= 𝑎
2
koʻrinishga ega boʻladi. 
Bu markazi koordinatalar boshida va radiusi 
a 
ga teng boʻlgan 
aylanani tenglamasidir.
Agar 
a
<
b 
boʻlsa ellipsning fokuslari 
OY 
oʻqida joylashgan boʻladi.

Fokuslari 
koordinata 
boshidan 
𝑐
2
= 𝑏
2
− 𝑎
2
, 𝑐 = 𝑏
2
− 𝑎
2
 
masofada
 
boʻladi. Ekssentrisiteti
𝑐
𝑏
= 𝜀 < 1 
va fokal radiusi 
𝑟
1
= 𝑏 − 𝜀𝑦, 𝑟
2
= 𝑏 + 𝜀𝑦
(3) koʻrinishda boʻladi.

 

---

Misol:
Katta yarim oʻqi 5 ga va 
𝜀 = 0.6
boʻlgan ellipsning kanonik 
tenglamasini tuzing.
Yechish: Shartga koʻra 
𝑐
𝑎
= 0.6, 𝑐 = 5 ∙ 0.6 = 3
hosil boʻladi. 
Ellips kichik yarim oʻqining kvadrati 
𝑏
2
= 𝑎
2
− 𝑐
2
ga teng. Bundan 
𝑏
2
= 25 − 9 = 16, 𝑏 = 4
. 
Izlanayotgan ellipsning kanonik tenglamasi
𝑥
2
25
+
𝑦
2
16
= 1

---

Giperbola 
Taʻrif: 
Giperbola deb, shunday nuqtalarning geometrik oʻrniga aytiladiki, har 
bir nuqtasidan berilgan ikki 
𝐹
1
va 
𝐹
2
nuqtagacha (fokusgacha) masofalar 
ayirmasining absalyut qiymati oʻzgarmas 2
a 
(0 < 2𝑎 < 𝐹
1
𝐹
2
)
miqdordan 
iboratdir. 
Giperbolaning kanonik tenglamasi
𝑥
2
𝑎
2
−
𝑦
2
𝑏
2
= 1
(1) 
Boʻlib, koordinata oʻqlariga nisbattan simmetrikdir.
a 
giperbolaning haqiqiy 
yarim oʻqi, 
b
esa mavhum yarim oʻqi deb ataladi. Giperbola 
OX
oʻqni uchlar 
deb ataluvchi 
𝐴
1
𝑎, 0 , 𝐴
2
−𝑎, 0
nuqtalarda kesadi. OY oʻqini kesib oʻtmaydi. 

---

1
B
2
B
1
A
2
A
2
F
1
F
a
a

b
b

x
y
o 
M(
x
, 
y
) 
Bu yerda
𝐴
1
𝐴
2
= 2𝑎, 𝐵
1
𝐵
2
= 2𝑏, 𝐹
1
𝐹
2
= 2𝑐, 𝐹
1
𝑀 = 𝑟
1
, 𝐹
2
𝑀 = 𝑟
2
𝑐 = 𝑎
2
+ 𝑏
2
parameter koordinata boshidan fokusgacha masofani 
bildiradi. 
𝑐
𝑎
= 𝜀 > 1
giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi.

---

𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥
toʻgʻri chiziqlar giperbolaning assimptotalari deyiladi. 
Fokal radiuslari 
𝑟
1
= 𝜀𝑥 − 𝑎 , 𝑟
2
= 𝜀𝑥 + 𝑎
formulalar orqali 
topiladi. Agar 
a
=
b 
boʻlsa 
𝑥
2
− 𝑦
2
= 𝑎
2
 
giperbola teng tomonli 
giperbola deb atalib, assimtotalar tenglamasi 
𝑦 = ±𝑥
 
koʻrinishda 
boʻladi.
𝑥
2
𝑎
2
−
𝑦
2
𝑏
2
= 1 
va 
𝑦
2
𝑏
2
−
𝑥
2
𝑎
2
= 1 
giperbolalar qoʻshma giperbolalar 
deyiladi.

---

Misol:
Fokuslar orasidagi masofa 26 ga, ekssentrisiteti 
13
12
teng boʻlgan 
giperbola tenglamasini tuzing. 
Yechish: shartga koʻra 2
c
=26, 
c
=13, 
𝜀 =
𝑐
𝑎
=
13
12
bundan, 
13
𝑎
=
13
12
, 𝑎 =
12 
ekanligi kelib chiqadi. 
𝑐
2
= 𝑎
2
+ 𝑏
2
formuladan 
𝑏
2
= 𝑐
2
− 𝑎
2
bundan 
esa 
𝑏 = 13
2
− 12
2
= 25 = 5
ekanligi kelib chiqadi. Geperbolaning 
kanonik tenglamasi 
𝑥
2
12
2
−
𝑦
2
5
2
= 1,
𝑥
2
144
−
𝑦
2
25
= 1

---

16 
Parabola 
Taʻrif: 
Berilgan nuqtadan(fokusdan) va berilgan toʻgʻri chiziqdan 
(direktrisadan) bir xil uzoqlikda boʻlgan nuqtalarning geometric oʻrni parabola 
deb ataladi. 
Pararabolaning kanonik tenglamasi quyidagi ikki koʻrinishga ega:
1) 
𝑦
2
= 2𝑝𝑥
OX oʻqiga nisbattan simmetrik;
2) 
𝑥
2
= 2𝑝𝑦
OY oʻqiga nisbattan simmetrik 
Har ikki holda ham parabolaning uchi, yani simmetriya oʻqida yotuvchi 
nuqtasi, koordinata boshida boʻladi. 
𝑦
2
= 2𝑝𝑥
parabola 
𝐹(
𝑝
2
, 0)
fokusga va 
𝑥 = −
𝑝
2
direktrisaga ega. M(x, y) nuqtasining fokal radius vektori 
𝑟 = 𝑥 +
𝑝
2
ga teng.
𝑥
2
= 2𝑝𝑦
parabola 
𝐹(0,
𝑝
2
)
fokusga va 
y = −
𝑝
2
direktrisaga ega. M(x, y) 
nuqtasining fokal radius vektori 
𝑟 = 𝑦 +
𝑝
2
ga teng.

---

𝑂 𝑥
0
, 𝑦
0
nuqtadan oʻtuvchi parabolaning kanonik tenglamalari quyidagicha 
a) b)
c) d)


0
0
;
y
x


0
0
;
2
/
y
p
x
F

2
/
0
p
x
x






0
2
0
2
x
x
p
y
y





0
0
;
y
x


0
0
;
2
/
y
p
x
F

2
/
0
p
x
x






0
2
0
2
x
x
p
y
y






0
0
;
y
x


2
/
;
0
0
p
y
x
F

2
/
0
p
y
y






0
2
0
2
y
y
p
x
x





0
0
;
y
x


2
/
;
0
0
p
y
x
F

2
/
0
p
y
y






0
2
0
2
y
y
p
x
x





---

Misol: 
𝑦
2
= 6𝑥 
parabola berilgan. Uning direktrisa tenglamasini tuzing va 
fokusini toping.
Yechish: Berilgan tenglamani 
𝑦
2
= 2𝑝𝑥
kanonik tenglama bilan 
taqqoslaymiz. 
2𝑝𝑥 = 6𝑥
bundan 
p
=3. Parabola direltrisasining tenglamasi 
𝑥 = −
𝑝
2
ligidan
𝑥 = −
3
2
ekanligi kelib chiqadi. Koʻrilayotgan hol uchun 
direktrisa tenglamasi 
𝑥 = −
3
2
, fokusi esa 
𝐹
3
2
, 0
boʻladi.

---

Адабиётлар: 
1.Азларов Т., Мансуров Х. ,Математик анализ,T.: «Ўқитувчи». 1 т: 1994 й.
2.Азларов Т., Мансуров Х. ,Математик анализ,T.: «Ўқитувчи». 2 т: 1995 й.
3.Аюпов Ш.А., Бердиқулов М.А.,Функциялар назарияси ,Т.: “ЎАЖБНТ” 
маркази, 2004 й.
4.Turgunbayev R.,Matematik analiz. 2-qism,T.TDPU, 2008 y. 
5.Jo‘raev T. va boshqalar,Oliy matematika asoslari. 2-q.,T.: «O‘zbekiston». 1999 
6.Сaъдуллaев A. вa бoшқ.Maтемaтик aнaлиз курсидaн мисoл вa мaсaлaлaр 
тўплaми, III қисм. T.: «Ўзбекистoн», 2000 й.,
7.Соатов Ё., Олий математика. Т., “Ўзбекистон”. 1996 й, 3 жилд
8.
www.ziyonet.uz/
9.
www.pedagog.uz/
Олий математика 

---

 
E‘TIBORLARINGIZ UCHUN RAXMAT 
 

+ 998 71 237 0986 

[e-mail] 
@O. Kucharov 
Kucharov Olimjon 
Ruzimuratovich 
Oliy matematika kafedrasi 
dotsenti