RAQAMLI TEXNOLOGIYALARNING
YANGI
O‘ZBEKISTON
RIVOJIGA
TA’SIRI
Xalqaro ilmiy-amaliy konferensiyasi
Текисликда иккита
A
E
ва
B
E
эллипслар билан чегараланган топламлар берилган
бўлсин. Айтайлик
(
)
1
2
1
1
1
,
A
F
,
(
)
1
2
2
2
2
,
A
F
нуқталар
A
E
эллипснинг,
(
)
1
2
1
1
1
,
B
F
,
(
)
1
2
1
2
2
,
B
F
нуқталар эса
B
E
эллипснинг фокуслари бўлсин.
2
A
a
ва
2
B
a
сонлар мос равишда
A
E
ва
B
E
эллипсларнинг катта ўқлари узунликлари бўлиб
,
A
B
a
a
(1)
( )
( )
2
2
2
2
1
2
1
2
4
4
,
A
A
A
B
B
B
a
F F
a
F F
−
−
(2)
муносабатлар ўринли бўлсагина
A
B
E
E
айирма ҳақида гапириш мумкин. Бу дегани
A
B
E
E
айирма бўш бўлмаслигининг зарурий шарти:
A
E
эллипснинг ўқлари узунлиги,
B
E
эллипснинг ўқлари узунлигидан кичик бўлмаслиги лозим. Лекин (1) ва (2) шартлар
бажарилиши
A
B
E
E
айирма бўш бўлмаслиги учун етарли эмас. Қуйида (1) ва (2) шартлар
бажарилган тақдирда
A
B
E
E
тўпламнинг бўш бўлмаслиги
учун етарли шартларни баён
қиламиз.
Текисликда эллипсни аниқлаш бир қийматли бўлиши учун унинг фокусларининг
координаталарини ва катта ўқини узунлигини бериш кифоя.
A
E
эллипснинг маркази
1
1
2
2
1
2
1
2
,
2
2
A
O
+
+
нуқта, худди шу каби
1
1
2
2
1
2
1
2
,
2
2
B
O
+
+
нуқта
B
E
эллипснинг
маркази бўлади.
( )
1, 0
i
вектор билан
(
)
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
,
A
A
F F
−
−
вектор орасидаги бурчак косинуси
ва
синуси
(
) (
)
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
cos
−
=
−
+
−
,
(
) (
)
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
sin
−
=
−
+
−
, (3)
формулалар орқали топилади. У ҳолда фокуслари
(
)
1
2
1
1
1
,
A
F
,
(
)
1
2
2
2
2
,
A
F
нуқталарда бўлган
ва катта ўқи узунлиги
2
A
a
га тенг
A
E
эллипснинг тенгламаси
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
cos
sin
2
sin
cos
1
4
4
A
A
x
y
x
y
a
a
+
−
−
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
(4)
кўринишда бўлади.
107
RAQAMLI TEXNOLOGIYALARNING
YANGI
O‘ZBEKISTON
RIVOJIGA
TA’SIRI
Xalqaro ilmiy-amaliy konferensiyasi
Худди шу каби фокуслари
(
)
1
2
1
1
1
,
B
F
,
(
)
1
2
1
2
2
,
B
F
нуқталарда бўлган ва катта ўқи
узунлиги
2
B
a
га тенг
B
E
эллипснинг тенгламаси
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
cos
sin
2
sin
cos
1
4
4
B
B
x
y
x
y
a
a
+
−
−
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
(5)
кўринишда бўлади.Бу ерда
бурчак
( )
1, 0
i
вектор билан
(
)
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
,
B
B
F F
−
−
вектор
орасидаги бурчак бўлиб, бу бурчакнинг косинус ва синуси
(
) (
)
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
cos
−
=
−
+
−
,
(
) (
)
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
sin
,
−
=
−
+
−
(6)
каби топилади.
A
B
E
E
тўплам бўш бўлмаслиги учун
B
E
тўпламни параллел кўчириш ёрдамида
A
E
тўпламнинг ичига жойлаштириш мумкин бўлиши лозим. Шунинг учун,
B
E
тўпламни
B
A
O O
вектор бўйлаб параллел кўчирамиз. Натижада хосил бўлган
B
E
эллипс тенгламаси
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
cos
sin
2
sin
cos
1
4
4
B
B
x
y
x
y
a
a
+
−
−
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
(7)
кўринишда бўлиб қолади.
Теорема 1.
Евклид текислигида фокуслари ва катта ўқи орқали берилган иккита
A
E
ва
B
E
эллипслар
A
B
E
E
Минковский айирмаси бўш бўлишлиги
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
cos
sin
2
sin
cos
1;
4
4
2
cos
sin
2
sin
cos
1;
4
4
B
B
A
A
x
y
x
y
a
a
x
y
x
y
a
a
+
−
−
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
(8)
система 4 та ҳақиқий ечимга ега бўлиши зарур ва етарли. Қолган ҳолларда
A
B
E
E
Минковский айирмаси бўш бўлмайди. Бу ерда
A
B
a
a
.
108
RAQAMLI TEXNOLOGIYALARNING
YANGI
O‘ZBEKISTON
RIVOJIGA
TA’SIRI
Xalqaro ilmiy-amaliy konferensiyasi
Исбот.
Бу теоремани исбот қилишда биз (8) системани тахлил қилишимиз керак. (8)
системани соддароқ ёзиш учун баъзи белгилашларни киритамиз:
( ) (
) (
)
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
4
,
A
A
b
a
=
−
−
−
−
(9)
( ) (
) (
)
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
4
,
B
B
b
a
=
−
−
−
−
(10)
(9) ва (10) ифодалар мос равишда
A
E
ва
B
E
эллипсларнинг кичик ўқлари узунликларидир.
Бу белгилашлардан кейин (8) системани
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
cos
sin
2
sin
cos
1;
4
4
2
cos
sin
2
sin
cos
1;
4
4
B
B
A
A
x
y
x
y
a
b
x
y
x
y
a
b
+
−
−
−
+
−
−
+
=
+
−
−
−
+
−
−
+
=
(11)
кўринишда ёзиб оламиз.
A
B
E
E
айирмани ҳисоблашда
B
E
тўпламни
B
A
O O
вектор бўйлаб
параллел кўчирамиз натижада маркази
A
O
нуқтада бўлган
B
E
эллипсга ўхшаш
B
E
эллипс
ҳосил бўлади. Бунда қуйидаги ҳоллар бўлиши мумкин:
1) Биринчи ҳолда
1
2
A
A
F F
ва
1
2
B
B
F F
векторлар ўзаро параллел бўлади.
B
E
тўпламни
B
A
O O
вектор бўйлаб параллел кўчирганимизда
B
E
ва
A
E
эллипсларнинг мос ўқлари устма
-
уст тушади ва
=
бажарилади. Бундай ҳолатда (11) система чекзиз кўп ҳақиқий ечимга,
фақат 2 та ечимга эга бўлиши ёки умуман ечимга эга бўлмаслиги мумкин. Агар
A
B
a
a
=
бўлиб,
1
2
1
2
A
A
B
B
F F
F F
=
тенглик ўринли бўлса, у ҳолда (11) системанинг иккала тенгламаси
ҳам бир хил бўлиб қолади. Бу дегани система чексиз кўп ечимга эга, яъни
B
E
ва
A
E
эллипслар устма
-
уст
тушиб қолади. Бу эса
A
B
E
E
эканлигини англатади.
Агар
A
B
a
a
=
бўлиб,
1
2
1
2
A
A
B
B
F F
F F
муносабат бажарилса, (11) системанинг биринчи
тенгламасидан иккинчи тенгламасини айириб қуйидагича соддалаштирамиз:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
sin
cos
2
sin
cos
0.
4
4
B
B
x
y
x
y
b
b
−
+
−
−
−
+
−
−
−
=
(12)
|