Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echish. Iteratsion usullar

---

CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR TIZIMINI ECHISH. ITERATSION
USULLAR.
 
Tayanch iboralar: 
Iteratsiya, statsonar, rekkurent, nostatsionar, xatolik, parametr, empirik, boshlangich yaqinlashish, 
diogonal elementlar, oshkor usul. 
 
1. ITERATSION USULLAR 
 
Bugunda turli tamoyil (printsip)larga asoslangan juda ko`plab iteratsion usullar mavjud. 
Umuman, bu usullarning, o`ziga xos tomonlaridan biri shundan iboratki, pul kuiilgan xatoliklari 
har kadamda to`g’rilanib boradi. Aniq usullar bilan ishlayotganda, agar biror kadamda xatoga pul 
kunilsa, bu xato oxirgi natijaga ham ta`sir kiladi. Yaqinlashuvchi iteratsion jarayonning biror 
kadamida yo`l qo`yilgan xatolik esa faqat bir necha iteratsiya kadamini ortikcha bajarishgagina 
olib keladi xolos. Biror kadamda yo`l qo`yilgan xatolik keyingi kadamlarda to`zatilib boriladi. Boz 
ustiga bu usullarning hisoblash tartibi sodda bo`lib, ularni EHM larda hisoblash qulaydir. Lekin 
har bir iteratsion usulning qo`llanish soxasi chegaralangandir. CHunki iteratsiya jarayoni berilgan 
tizim uchun o`zoklashi-shi yoki shuningdek, sekin yaqinlashishi mumkinki, buning okibatida 
amalda echimni konikarli aniqlikda topib bo`lmaydi. 
Shuning uchun ham iteratsion usullarda faqat yaqinlashish masalasigina emas, balki 
yaqinlashish tezligi masalasi ham katta axamiyatga egadir. Yaqinlashish tezligi dastlabki 
yaqinlashish vektorining qulay tanlanishiga ham borlikdir. 
Bu paragrafda avval iteratsion usullarning umumiy xarakteristikasini kurib chiqamiz, 
so`ngra esa hisoblash amaliyotida keng qo`llaniladigan iteratsion usullarni keltiramiz.
 
2. ITERATSION USULLARNING UMUMIY XARAKTERISTIKASI 
 
Yuqorida kayd etilganidek, iteratsion usullar tizimning izla-ngan x echimiga 
yaqinlashadigan y
0
, y
1
, y
2
, … iteratsion ketma-ketliklarni kurishga asoslangan. Har bir shunday 
usul navbatdagi y
k+1 
yaqinlashishni avvalgilari yordamida hisoblashga imkon beradigan 
iteratsion formulalar bilan xarakterlanadi. eng sodda xolda y
k+1
ni hisoblashda faqat bitta 
avvalgi y
k
iteratsiyadan foydalaniladi. Bunday usullar bir kadamli deyiladi. Bir kadamli usullar 
uchun iteratsion formulani quyidagi 
f
Ay
y
y
B
k
k
k
k
k






1
1
1

(3.17) 
standart kanonik ko`rinishda yozish qabul kilingan; bunda 

k+1
- iteratsion parametrlar (

k+1
>0), 
B
k+1
– yordamchi maxsusmas matritsalar. Agar 

va B lar k+1 indeksga bog’liq bo`lmasa, ya`ni 
(3.17) formula ixtiyoriy k lar uchun bir xil ko`rinishga ega bo`lsa, u xolda bu iteratsion usul 
s t a t s i o n a r u s u l deyiladi. Statsionar usullar hisob-lash jarayonini tashkil etish nuqtai 
nazaridan soddadir. Ammo nostatsionar usullar boshqa ustunliklarga ega: ular {

k+1
}
, 
{B
k+1
} 
ketma-ketliklarni tanlash bilan boglangan kushimcha «erkinlik darajasiga» ega. Bundan y
k 
iteratsiyalar tizimning 
x
echimiga yaqinlashish tezligini oshirishda foydalanish mumkin. 
(3.17) iteratsion formula yordamida navbatdagi y
k+1
yaqinlashishni topish ushbu
B
k+1
 y
k+1
 = F
k+1
 
 
 
(3.18) 
tenglamalar tizimini echishni talab etadi. Bunda 
F
k+1