H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

   5.3.  Qamma-funksiya 

 

       Qamma-funksiyanın əsas yazılış formalarından biri: 

.

)

(

1

0

dt

t

e

n

Г

n

t











 

      

Bu  inteqral  parametrdən  asılı  olan  inteqraldır.  Tam  n  parametri  üçün 

aşağıdakı münasibətlər doğrudur: 

 

)

(

)

1

(

)!

1

(

)

(

;

1

)

2

(

)

1

(

n

nГ

n

Г

n

n

Г

Г

Г













 

      

Ümimi halda: 

!

2

1

)

1

2

1

(

;

2

2

1

;

2

1











 



































n

n

Г

Г

Г





 

 

     Ümimi halda n mənfi, müsbət, tam, kəsir və kompleks ədəd şəklində ola 

bilər. Lakin Matlabda n  yalnız həqiqi müsbət ədəd ola bilər. 

     Sintaksis: 

gamma (n),  

n-həqiqi müsbət ədəddir. 

      Misal 5.4. n=[0, 1, 2, 6, -3, 4.2] vektoru üçün qamma-fuksiyasını 

hesablayaq.  

 

        

 

107 

 

 

 

     Göründüyü  kimi,  n=0  və  n=-3  qiymətlərində  proqram  qamma-funksiyanı 

hesablaya bilməyir- qiyməti inf-sonsuzluq alınır. 

     Qamma-funksiyanın 

)!

1

(

)

(





n

n

Г

  xassəsəndən  istifadə  edərək  faktorialı 

hesablamaq olar.Məsələn, 5! tapmaq tələb olunarsa n=6 götürmək lazımdır. 

 

         

 

      Natamam qamma-funksiya: 

.

)

(

1

)

,

(

1

0

dt

t

e

n

Г

n

x

P

n

x

t









 

      Matlab funksiyası:

gammainc(x,n). 

      Misal 5.5. 

 

      

 

 

      Burada NaN qeyri-müəyyənlik deməkdir. 

      Mühəndis praktikasında 

)

,

(

/

)

,

(

)

,

(

n

х

P

dx

n

х

dP

n

x

Psi



 funksiyasından da istifadə 

olunur: 

psi(x,n). 

 

     

 

 

 

 

 

108 

 

 5.4. Betta-funksiya 

 

Betta-funksiya  birinci  cins  Eyler  inteqralı  da  adlanır.Bu  funksiya  çoxlu 

sayda inteqral təqdimatlarına malikdir. Bunlardan əsası aşağıdakı ikiparametrik 

inteqral təşkil edir: 

.

)

1

(

)

,

(

1

1

0

1

dt

t

t

y

x

B

y

x











 

 

     Burada x, y- sabit parametrlər, t isə [0;1] intervalında dəyişən inteqrallama 

dəyişənidir. 

     Praktiki  hesablamalarda  adətən  betta-funksiyanı  qamma-funksiyanın 

vasitəsi ilə hesablayırlar: 

.

)

(

)

(

)

(

)

,

(

y

x

Г

y

Г

x

Г

y

x

B





 

    Matlab sistemində bu funksiyanın hesablanmasinın bir-neşə variantı 

mövcuddur. O cümlədən: 

     -beta (x,y) 

     -betaln(x,y). 

     Birinci  halda  x,y>0.  İkinci  halda  betta-funksiyanın  natural  loqarifmi 

hesablanır. 

     Misal  5.6.  Parametrlərin  x=2,  y=4  qiymətlərində  betta-funksiyanın 

qiymətini hesablayaq. 

         

 

 

       

5.5. Üstlü inteqral funksiyası 

 

       Çoxlu sayda üstlü inteqral funksiyaları mövcuddur. Matlada bunlardan biri 

reallaşdırılmışdır: 

.

)

(

dt

t

e

x

E

x

t



 



 

      Burada inteqralın aşağı sərhəddi x ədəd, vektor,  matris, həqiqi və ya xəyali 

 

109 

 

ədədlər ola bilər. 

      Matlabda  bu  funksiya 

expint(x)  kimi  təqdin  olunur.  Arqument  x 

ədəd,vektor, matris, mənfi, müsbət və ya kompleks kəmiyyət ola bilər . 

      Misal 5.7. 

 

 

    

 

 

     

5.6. Lejandr funksiyası 

 

Lejandr funksiyası aşağıdakı şəkildədir: 

.

)

(

)

1

(

)

1

(

)

(

2

m

n

m

m

m

m

n

dx

x

P

d

x

x

P







 

 

Burada 

.

)

1

(

!

2

1

)

(

2

n

n

n

n

dx

x

d

n

x

P





 

      Matlabda bu funksiya 

legendre(n,x) əmrinin köməyi ilə hesablanır. 

Burada  n-256  ədədini  aşmayan  tam  ədəd,  n<=256;          x-arqumenti    -1<x<1 

intervalında dəyişən həqiqi ədəddir. x ədəd və ya vektor ola bilər. 

      

legendre(n,x)  əmri  x-in  hər  bir  qiyməti  üçün  n+1  ölşülü  massiv 

formalaşdırır. 

      Misal 5.8. 

 

110 

 

     

 

 

     

5.7. Bessel funksiyaları 

 

      Bessel funksiyaları (silindrik funksiyalar) Bessel tənliyi adlanan aşağıdakı 

dəyişən əmsallı  iki tərtibli xətti bircins diferensial tənliyin həllidir: 

.

0

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

2









x

y

n

x

dx

x

dy

x

dx

x

y

d

x

 

      Burada n-mənfi olmayan sabitdir,

0



n

. 

      Aydındır  ki,  həll  y(x,n)    y-in  əmsalına  təsir  edən  n-dən  asılıdır.  Bu  tip 

tənliyin  həlli  n-in  tam  qiymətində  elementar  funksiyalar  ilə  ifadə  oluna 

bilmədiyindən  bu  hal  üçün  Bessel  tərəfindən  bir-neçə  həll  düsturu  təklif 

edilmişdir: 

       1.  Birinci  cins  n-  tərtibli  Bessel  fuksiyası.  Bu  halda  həll  sonsuz  sıra 

şəklində axtarılır.Nəticədə həllin aşağıdakı  ifadəsi alinır: 

.

1

,

)

(

!

4

2

)

,

(

0

2













































k

n

a

a

Г

k

x

x

n

x

J

k

k

n

n

 

 

Burada 



)

(a

Г

qamma funksiya, n-tam ədəddir. 

.

)

(

1

0

dt

t

e

a

Г

a

x

t









 

      n=0  qiymətində  Bessel  tənliyi

.

0

1











y

y

x

y

x=0  qiymətində 





y

in 

əmsalı kısilənliyə məruz qalır:1/0=∞.Bu səbəbdən x=0 nöqtösi xüsusi nöqtədir. 

Belə  tənliyi  adi  üsullarla  həll  etmək  mümkün  olmadığından  həll  üstlü  sıra 

şəklində  axtarılır: 

...

...

2

2

1

0

k

k

x

c

x

c

x

c

c

y











  .  Əmsalları    y(0)=1,  y'(0)=0 

 

111 

 

başlanğıc şərtlərində tapdıqdan sonra həll: 

.

)

!

(

2

)

1

(

)

0

,

(

2

2

2

0

0

k

x

x

J

n

k

k

k











 

2.İkinci cins n-tərtibli Bessel funksiyası (triqonometrik forma): 

 

.

)

sin(

)

,

(

)

cos(

)

,

(

)

,

(





n

n

x

J

n

n

x

J

n

x

Y

n

n

n







 

3.Birinci  və  ikinci  cins  Bessel  funksiyalarının  kombinasiyasından  ibarət 

olan üçüncü cins Bessel funksiyası da mövcuddur. 

     Matlabda Bessel funksiyaları aşağıdakı əmirlərin köməyi ilə hesablanır: 

-besselj(n,x); 

-bessely(n,x). 

Misal  5.9.  n=0,1,2,3  qiymətləri  üçün  birinci  cins  Bessel  J

0

,  J

1

,  J

2

,  J

3  

funksiyalarının  qrafikinı  quraq.Bu  məqsədlə  for...end  dövr  operatorundan 

istifadə edəcəyik. 

 

Şəkil 5.4-də müvafiq qrafiklər göstərilmişdir. 

 

 

Şəkil 5.4. Birinci cins Bessel funksiyalarının qrafiki 

İkinci cins Bessel Y

0

, Y

1

, Y

2

, Y

3

 funksiyasının hesablayaq. 

 

 

112 

 

 

 

       

Şəkil 5.5-də ikinci cins Bessel funksiyalarının qrafikləri göstərilmişdir. 

 

 

Şəkil 5.5. İkinci cins Bessel funksiyalarının qrafiki 

 

      Arqunentin  x=0  qiymətində  Y(n,x)=-inf.  Bu  səbəbdən  qrafikləri  bir 

pəncərədə  göstərə  bilmək  üçüçn  amplitudlar  Ylim([-2  2])  əmrinin  köməyi  ilə 

məhdudladırılmışdır. 

        Bessel  tənliyi  Laplas  və  Helmqols  tənliklərini  silindrik  koordinatlarda 

tapdıqda  meydana  çıxır.  Bessel  funksiyalarından  dalğaların  yayılması,  statik 

potensiallar, nazik dairəvi membranın rəqslərinin forması və digər məsələlərin 

həlli zamanı istifadı olunur. 

 

      

 

 

 

113 

 

 

5.8. Təsadüfi proseslər 

 

 5.8.1. Fasiləsz  təsadüfi kəmiyyətin ehtimal və  

           

ədədi xarakteristikaları 

 

        Мцяййян сонлу 

b

X

a





 вя йа сонсуз 











X

 интервалында мцмкцн олан 

бцтцн гиймятляри ала билян тясадцфи х кямиййяти фасилясиз тясадцфи кямиййят адланыр. 

Демяли, фасилясиз тясадцфи кямиййятин ещтимал характеристикалары да фасилясиз функсийалар 

олмалыдыр. 

1. Тясадцфи кямиййятин интеграл пайланма гануну. Фасилясиз тясадцфи кямиййят 

юзцнцн интеграл пайланма гануну иля там тяйин олунур:   

 

   

)

x

X

(

P

)

x

(

f





 .     

(5.1) 

Бурада  х  тясадцфи  Х  кямиййятинин  истянилян  конкрет  гийıмяти;  П  –  ещтималын 

ишарясидир. 

Демяли, тясадцфи кямиййятин пайланма функсийасы онун бцтцн гиймятляринин щяр 

щансы бир х гиймятиндян кичик олмасы ещтималыны эюстярир.  

Шякил  5.6 а-да  пайланма  функсийасынын  графики  эюстярилмишдир.  Бу  функсийанын 

истянилян пайланма гануну цчцн доьру олан ясас хассяляри ашаьыдакылардыр: 

1. 

)

x

(

f



 азалмайан функсийадыр; бярабяр пайланма гануну цчцн 

const

f



; 

2. х-ин щядд гиймятляриндя 

0

)

(

f





, 

1

)

(

f





; 

3. Х  тясадцфи  кямиййятинин 

]

,

[





  интервалына  дцшмя  ещтималы 

)

(

f

)

(

f

]

X

[

P

















. 

Бязи  пайланма  ганунларында  яйилмя  нюгтяси  А  олмайа  да  биляр. 

Хассялярин  яксяриййятини  графикдя  мцшащидя  едя  билмяк  цчцн  о  нормал 

пайланма  гануну  цчцн  чякилмишдир. 

x

  артдыгъа  сол  тяряфдя  галан  интервал 

эенишлянир  вя  Х  тясадцфи  кямиййятин  бу  интервала  дцшмя  ещтималы  артмаьа 

башлайыр.   

Интеграл  пайланма  ганунунун  чатышмамазлыьы  ондан  ибарятдир  ки,  о  Х  тясадцфи 

кямиййятинин щяр щансы бир 

i

x конкрет  гиймятинин  кичик  ятрафында  пайланма  характери 

щаггында мцщакимя йцрцтмяйя имкан вермир. Бу чатышмамазлыьы арадан галдырмаг 

мягсяди иля диференсиал пайланма ганунундан истифадя едирляр. 

 

 

114 

 

 

Шякил 5.6. 

2. Диференсиал  пайланма  гануну  (Ещтималларын  пайланма  сыхлыьы).  Х  

кямиййятинин верилмиш 

)

x

x

,

x

(





 интервалына дцшмя ещтималы 3-ъц хассяйя ясасян:  

 

     

)

x

(

f

)

x

x

(

f

)

x

x

X

x

(

P

















 . 

 

Бу ещтималын парчанын узунлуьуна нисбятини тяртиб едяк:  

 

   

       

x

)

x

(

f

)

x

x

(

f









 .  

(5.2) 

Бу нисбят ващид узунлуьа дцшян орта ещтималы, йяни онун орта сыхлыьыны характеризя 

едир. 

)

x

(

f

 функсийасынын диференсиалланан олдуьуну фярз едиб (5.2) ifadəsində 

0

x





 

щяддиня кечяк:  

 

      

)

x

(

p

)

x

(

f

x

)

x

(

f

)

x

x

(

f

lim

0

x



















 .          

(5.3) 

)

x

(

p

 функсийасы ещтималларын пайланма сыхлыьы функсийасы адланыр. 

Шякил 5.6, б-дя бу функсийанын графики эюстярилмишдир. 

Диференсиал пайланма гануну ашаьыдакы хассяляря маликдир. 

1. 

dx

)

x

(

df

)

x

(

p



. 

2. 

dx

)

x

(

p

)

x

(

f









.  

 

   3. 

dx

)

x

(

p

]

X

[

P

















.                                                                             (5.4)                                      

б) 

а) 

 

115 

 

 

Яэяр 







оларса, 

0

p



, йяни (5.4) фасилясиз тясадцфи кямиййятин 

дискрет тясадцфи кямиййятдян фяргли олараг конкрет бир гиймят алмасы ещтималы 

сыфыра бярабярдир.   

4. 

1

)

(

f

)

(

f

|

)

x

(

f

dx

)

x

(

p























.  Йяни  ещтималларын  пайланма 

сыхлыьы яйрисинин ящатя етдийи сащя С ващидя бярабярдир. Доьрудан да бу сащя 

Х-ин  мцмкцн 

)

,

(





  интервалына  дцшмя  ещтималыны  характеризя  етдийиндян 

ващидя бярабяр олмалыдыр. 

Пайланма 

)

x

(

f

  вя 

)

x

(

p

  функсийалары  тясадцфи  кямиййятин  ещтимал 

характеристикалары адланыр вя ону там характеризя едир. Буна бахмайараг, бязи 

щалларда  пайланма  ганунларыны  билмяйя  ещтийаъ  олмайыб,  йалныз  бу  ганунлара 

дахил  олан  параметрляри  билмякля  кийайятлянмяк  олар.  Бунлардан  рийази 

эюзлямя  вя  дисперсийа  иля  таныш  олаг.  Рийази  эюзлямя  вя  дисперсийа  тясадцфи 

кямиййятин ещтимал дейил, ядяди характеристикалары адланыр. 

3. Рийази  эюзлямя. Бу  эюстяриъи юзц тясадцфи  кямиййят  олмайыб  тясадцфи 

Х  кямиййятинин  х  гиймятляринин  груплашдырыьы  (топландыьы)  орта  гиймятини 

характеризя едир: 

                     

dx

)

x

(

xp

m

]

X

[

M

x











 . 

           (5.5) 

Яэяр Х-ин бцтцн гиймятляри 

]

b

,

a

[

 парчасына дахилдирся, онда 

 

   

 

dx

)

x

(

xp

m

b

a

x





 

(5.6) 

Бу ифадя х дяйишянинин 

)

x

(

p

 чякиси иля орталашдырылмасы демякдир. 

Рийази эюзлямянин ясас хассяляри: 

1. 

]

X

[

cM

]

cX

[

M



 ,  

const

c



. 

2. 

y

x

m

m

]

Y

[

M

]

X

[

M

]

Y

X

[

M











. 

3. 

y

x

m

m

]

Y

[

M

]

X

[

M

]

XY

[

M







. 

Бурада Х вя Й бир-бириндян асылы олмайан тясадцфи кямиййятлярдир. 

Фасилясиз  тясадцфи  кямиййятин  модасы 

0

M   онун 

)

x

(

p

  ещтималларын 

пайланма функсийасынын максимумуна уйьун эялян гиймятиня бярабярдир.  

Тясадцфи кямиййятин медианы 

m

M  онун еля гиймятидир ки, бу гиймят цчцн 

 

   

)

M

X

(

P

)

M

X

(

P

m

m







 

        (5.7) 

бярабярлийи юдянилир, йяни тясадцфи Х кямиййятинин медиандан бюйцк вя кичик 

гиймят ала биляъяйи ещтималлары бярабярдир. 

Шякил 5.7-дя нормал пайланмайа йахын олан пайланма гануну цчцн мода 

 

116 

 

вя медиан эюстярилмишдир. 

 

 

                       а)                                               б)